2 x < log 3 ( − 3 ⋅ 10 2 x − 1 + 13 ⋅ 3 x ⋅ 10 x − 1 )

Давайте решим неравенство: \[ 2x < \log_3(-3 \cdot 10^{2x - 1} + 13 \cdot 3^x \cdot 10^{x - 1}) \] ### Шаг 1: Разберем логарифмическую часть Для начала, чтобы понять неравенство, нужно разобраться с выражением внутри логарифма: \[ -3 \cdot 10^{2x - 1} + 13 \cdot 3^x \cdot 10^{x - 1} \] ### Шаг 2: Упрощение 1. Упростим каждую часть: - Выражение \(-3 \cdot 10^{2x - 1}\) можно переписать как: \[ -3 \cdot \frac{10^{2x}}{10} = \frac{-3 \cdot 10^{2x}}{10} \] - Выражение \(13 \cdot 3^x \cdot 10^{x - 1}\): \[ 13 \cdot \frac{3^x \cdot 10^x}{10} = \frac{13 \cdot 3^x \cdot 10^x}{10} \] Теперь имеем: \[ \frac{-3 \cdot 10^{2x}}{10} + \frac{13 \cdot 3^x \cdot 10^x}{10} \] Упрощая, можно вывести общий знаменатель: \[ \frac{-3 \cdot 10^{2x} + 13 \cdot 3^x \cdot 10^x}{10} \] ### Шаг 3: Поднятие общего знаменателя Так как мы имеем дробь, логарифм действителен тогда, когда выражение в числителе больше нуля: \[ -3 \cdot 10^{2x} + 13 \cdot 3^x \cdot 10^x > 0 \] ### Шаг 4: Переносим элементы Переносим один элемент: \[ 13 \cdot 3^x \cdot 10^x > 3 \cdot 10^{2x} \] ### Шаг 5: Дальнейшие преобразования Теперь можно разделить обе стороны на \(10^x\) (при условии, что \(10^x > 0\), что всегда верно): \[ 13 \cdot 3^x > 3 \cdot 10^x \] ### Шаг 6: Разделение на 3 Теперь делим обе стороны на 3: \[ \frac{13}{3} \cdot 3^x > 10^x \] ### Шаг 7: Переписываем неравенство Теперь переписываем неравенство: \[ \left( \frac{13}{3} \right) \cdot 3^x > 10^x \] ### Шаг 8: Логарифм обеих сторон Теперь можем применить логарифм к обеим сторонам: \[ \log(\frac{13}{3}) + x \log(3) > x \log(10) \] ### Шаг 9: Переносим все члены в одну сторону Теперь приводим подобные: \[ \log(\frac{13}{3}) > x(\log(10) - \log(3)) \] ### Шаг 10: Изолируем \(x\) Разделим обе стороны на \((\log(10) - \log(3))\), если это выражение положительно: \[ x < \frac{\log(\frac{13}{3})}{\log(10) - \log(3)} \] ### Заключение Теперь мы получили неравенство для \(x\). Вам нужно лишь подставить значения логарифмов (например, используя калькулятор) и решить неравенство, чтобы найти конкретный интервал для \(x\). Для более точного значения можно воспользоваться логарифмической таблицей или калькулятором.