3^(lg x+2) < 3^(lg x^2 +5) -2
Чтобы решить неравенство \( 3^{(\log x + 2)} < 3^{(\log x^2 + 5)} - 2 \), начнем с упрощения его.
Шаг 1: Упрощение выражений
Перепишем неравенство:
Мы можем переписать логарифм \( \log x^2 \) как \( 2 \log x \). Таким образом, неравенство становится: \[ 3^{(\log x + 2)} < 3^{(2 \log x + 5)} - 2. \]
Перепишем экспоненциальные выражения:
Сначала упростим \( 3^{(\log x + 2)} \) и \( 3^{(2 \log x + 5)} \):
- \( 3^{(\log x + 2)} = 3^{\log x} \cdot 3^{2} = 9x \).
- \( 3^{(2 \log x + 5)} = 3^{(2 \log x)} \cdot 3^{5} = 9x^2 \cdot 243 = 243x^2 \).
Шаг 2: Подстановка в неравенство
Теперь подставим полученные выражения в начальное неравенство: \[ 9x < 243x^2 - 2. \]
Шаг 3: Перенос всех слагаемых в одну сторону
Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ 0 < 243x^2 - 9x - 2. \]
Это эквивалентно неравенству: \[ 243x^2 - 9x - 2 > 0. \]
Шаг 4: Решение квадратного неравенства
Теперь решим квадратное уравнение \( 243x^2 - 9x - 2 = 0 \) для нахождения границ:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 243, b = -9, c = -2 \).
Находим дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025. \]
Корни: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{2025}}{2 \cdot 243} = \frac{9 \pm 45}{486}. \]
Таким образом, получаем два корня: \[ x_1 = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}, \] \[ x_2 = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27} \quad (\text{отрицательный корень отбрасываем, так как } x > 0). \]
Шаг 5: Определяем интервалы
Теперь нам нужно определить, на каких интервалах \( 243x^2 - 9x - 2 > 0 \). Очевидно, что квадратный трёхчлен меняет знак в корнях \( \frac{1}{9} \) и \(-\frac{2}{27}\). Поскольку второй корень отрицательный, мы проверим знак в области:
- \( x < \frac{1}{9} \) (например, \( x = 0 \)): \( 243(0)^2 - 9(0) - 2 = -2 < 0 \).
- \( x > \frac{1}{9} \) (например, \( x = 1 \)): \( 243(1)^2 - 9(1) - 2 = 243 - 9 - 2 = 232 > 0 \).
Шаг 6: Вывод
Таким образом, решением неравенства \( 243x^2 - 9x - 2 > 0 \) является: \[ x > \frac{1}{9}. \]
Эта область является решением исходного неравенства.
