Игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет двойка. Найди вероятность того, что ему потребуется два или три броска.
Чтобы найти вероятность того, что игроку потребуется два или три броска игральной кости, прежде чем он выбросит двойку, воспользуемся понятиями вероятности и независимых событий.
Шаг 1: Определим вероятность выпадения двойки на одном броске.
На стандартной игральной кости 6 граней, и только одна из них — это двойка. Таким образом, вероятность выпадения двойки (обозначим её \( p \)) составляет: \[ p = \frac{1}{6} \] Вероятность того, что не выпадет двойка (обозначим её \( q \)) составляет: \[ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
Шаг 2: Рассмотрим случаи для 2 и 3 бросков.
Случай 1: Необходимо 2 броска.
- В первом броске не должна выпасть двойка \( (q) \).
- Во втором броске должна выпасть двойка \( (p) \).
Вероятность этого события: \[ P(2 \text{ броска}) = q \times p = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{36} \]
Случай 2: Необходимо 3 броска.
- В первом броске не должно выпасть двойка \( (q) \).
- Во втором броске не должно выпасть двойка \( (q) \).
- В третьем броске должна выпасть двойка \( (p) \).
Вероятность этого события: \[ P(3 \text{ броска}) = q \times q \times p = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{25}{216} \]
Шаг 3: Найдем общую вероятность того, что игроку потребуется 2 или 3 броска.
Теперь сложим вероятности того, что потребуется 2 или 3 броска: \[ P(2 \text{ или } 3 \text{ броска}) = P(2 \text{ броска}) + P(3 \text{ броска}) = \frac{5}{36} + \frac{25}{216} \]
Шаг 4: Приведем к общему знаменателю.
Общий знаменатель для \( 36 \) и \( 216 \) — это \( 216 \). Приведем первую дробь к этому знаменателю: \[ \frac{5}{36} = \frac{5 \times 6}{36 \times 6} = \frac{30}{216} \]
Теперь можем сложить дроби: \[ P(2 \text{ или } 3 \text{ броска}) = \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{55}{216} \]
Ответ: Вероятность того, что игроку потребуется два или три броска, составляет \(\frac{55}{216}\).
