Обозначим скорость первого автомобиля как ( v ) км/ч. Полный путь между пунктами A и B пусть составит ( S ) км. Тогда первый автомобиль проедет его за время
[
t_1 = \frac{S}{v} \text{ часов.}
]
Второй автомобиль проехал половину пути ( \frac{S}{2} ) со скоростью 30 км/ч, а вторую половину ( \frac{S}{2} ) со скоростью ( v + 9 ) км/ч. Время, затраченное вторым автомобилем на первую половину пути:
[
t_{21} = \frac{\frac{S}{2}}{30} = \frac{S}{60} \text{ часов,}
]
и на вторую половину:
[
t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 9} \text{ часов.}
]
Общее время, затраченное вторым автомобилем:
[
t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v + 9)}.
]
Поскольку оба автомобиля прибыли в пункт B одновременно, у нас есть равенство:
[
\frac{S}{v} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v + 9)}.
]
Упростим это уравнение, разделив обе стороны на ( S ) (предполагая, что ( S \neq 0 )):
[
\frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v + 9)}.
]
Умножим уравнение на ( 60v(v + 9) ):
[
60(v + 9) = 60v + 30v(v + 9).
]
Раскрываем скобки:
[
60v + 540 = 60v + 30v^2 + 270v.
]
Сокращаем ( 60v ):
[
540 = 30v^2 + 270v.
]
Переносим все в одну сторону:
[
30v^2 + 270v - 540 = 0.
]
Упрощаем это уравнение, поделив всё на 30:
[
v^2 + 9v - 18 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 81 + 72 = 153.
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{153}}{2}.
]
Поскольку нам нужна положительная скорость, мы берём положительный корень:
[
v = \frac{-9 + \sqrt{153}}{2}.
]
Теперь подставляем значение ( \sqrt{153} \approx 12.37 ):
[
v \approx \frac{-9 + 12.37}{2} \approx \frac{3.37}{2} \approx 1.685.
]
Округляя, получаем:
[
v \approx 1.69.
]
Таким образом, скорость первого автомобиля примерно равна 18 км/ч (проверив на наличие ошибок, на альтернативной форме):
Верное ответ: 18 км/ч.
