Координатная плоскость подвергается следующему преобразованию: точка с координатами (х, у) переходит в точку с координатами (х-у+1; - х+у-1). Найдите точки, которые при этом…
Координатная плоскость подвергается следующему преобразованию: точка с координатами (х, у) переходит в точку с координатами (х-у+1; - х+у-1). Найдите точки, которые при этом преобразовании останутся на своих прежних местах
Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что выясним, какие точки (x, y) остаются на своих местах при данном преобразовании.
Преобразование задано следующим образом:
\[ \begin{cases} x' = x - y + 1 \\ y' = -x + y - 1 \end{cases} \]
Здесь (x', y') — новые координаты, а (x, y) — старые координаты точки. Чтобы найти точки, которые остаются на своих местах, мы должны решить уравнения:
\[ \begin{cases} x' = x \\ y' = y \end{cases} \]
Подставим \(x\) и \(y\) в выражения для \(x'\) и \(y'\):
- Для \(x\): \[ x - y + 1 = x \]
В данном уравнении можем исключить \(x\) с обеих сторон:
\[ -y + 1 = 0 \] Отсюда: \[ y = 1 \]
- Для \(y\): \[ -x + y - 1 = y \]
Убираем \(y\) с обеих сторон: \[ -x - 1 = 0 \] Отсюда: \[ x = -1 \]
Теперь у нас есть значение \(x\) и \(y\): \[ x = -1, \quad y = 1 \]
Таким образом, единственная точка, которая при заданном преобразовании остается на своих прежних местах, — это точка \((-1, 1)\).
Итог: При преобразовании точки (x, y) в точки (x - y + 1; -x + y - 1), единственной точкой, которая остается на своих местах, является \((-1, 1)\).
