Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что выясним, какие точки (x, y) остаются на своих местах при данном преобразовании.
Преобразование задано следующим образом:
[
\begin{cases}
x' = x - y + 1 \
y' = -x + y - 1
\end{cases}
]
Здесь (x', y') — новые координаты, а (x, y) — старые координаты точки. Чтобы найти точки, которые остаются на своих местах, мы должны решить уравнения:
[
\begin{cases}
x' = x \
y' = y
\end{cases}
]
Подставим (x) и (y) в выражения для (x') и (y'):
- Для (x):
[
x - y + 1 = x
]
В данном уравнении можем исключить (x) с обеих сторон:
[
-y + 1 = 0
]
Отсюда:
[
y = 1
]
- Для (y):
[
-x + y - 1 = y
]
Убираем (y) с обеих сторон:
[
-x - 1 = 0
]
Отсюда:
[
x = -1
]
Теперь у нас есть значение (x) и (y):
[
x = -1, \quad y = 1
]
Таким образом, единственная точка, которая при заданном преобразовании остается на своих прежних местах, — это точка ((-1, 1)).
Итог: При преобразовании точки (x, y) в точки (x - y + 1; -x + y - 1), единственной точкой, которая остается на своих местах, является ((-1, 1)).
