Две окружности имеют общую хорду. Докажите, что она перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры. 2.
Для решения задачи о доказательстве перпендикулярности общей хорды двух окружностей к прямой, на которой лежат их центры, пройдёмся по шагам.
Дано:
- Две окружности (обозначим их \( O_1 \) и \( O_2 \)) с центрами \( C_1 \) и \( C_2 \).
- Общая хорда, обозначим её как \( AB \).
Нужно доказать:
- Хорда \( AB \) перпендикулярна прямой \( C_1C_2 \).
Шаги доказательства:
Запишем свойства радиус-векторов: Известно, что радиусы, проведённые в точку касания (в данном случае в точки \( A \) и \( B \)) хорды на окружностях \( O_1 \) и \( O_2 \), перпендикулярны к этой хорде. То есть:
- \( O_1A \perp AB \)
- \( O_1B \perp AB \)
- \( O_2A \perp AB \)
- \( O_2B \perp AB \)
Проведём радиус в точки касания: Проведём радиусы \( C_1A \) и \( C_2A \), а также \( C_1B \) и \( C_2B \). Предположим, что \( O_1A \) и \( O_2A \) – радиусы окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \) соответственно.
Обозначим углы: Обозначим угол между радиусом \( C_1A \) и хордами \( AB \) как \( \alpha \), а угол между радиусом \( C_2A \) и той же хордой \( AB \) как \( \beta \).
Свойство углов окружности: Известно, что для двух касательных (в данном случае радиусов) к одной и той же хордой: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \] Это свойство нам говорит о том, что углы \( \alpha \) и \( \beta \) являются дополнениями друг к другу.
Логика разработки: Если \( O_1A \perp AB \), то угол \( C_1A \) равен \( 90^\circ \). Если \( O_2A \perp AB \), то угол \( C_2A \) тоже равен \( 90^\circ \). Значит:
\[ C_1A \perp AB \quad \text{и} \quad C_2A \perp AB \]
Согласно свойству, если два радиуса окружностей, проведённые к общей хорде, перпендикулярны этой хорде, то общая хорда будет перпендикулярна прямой, соединяющей центры этих окружностей.
Доказательство перпендикулярности: Таким образом, мы можем утверждать, что хорд \( AB \) перпендикулярна прямой, которая соединяет центры \( C_1 \) и \( C_2 \):
\[ \text{AB} \perp C_1C_2 \]
Заключение:
Мы показали, что общая хорда двух окружностей всегда перпендикулярна прямой, соединяющей их центры. Это основано на свойствах радиусов и углов, создаваемых этими радиусами с хордой. Таким образом, задача доказана.
