Чтобы решить систему неравенств ( y \geq x^2 ) и ( y \leq 6 - x^2 ), начнем с анализа каждого неравенства.
Шаг 1: Построение графиков
Первое неравенство: ( y \geq x^2 )
График функции ( y = x^2 ) – это парабола, открытая вверх. Значения ( y ) выше этой кривой будут удовлетворять неравенству.
Второе неравенство: ( y \leq 6 - x^2 )
График функции ( y = 6 - x^2 ) – это опущенная вниз парабола, с вершиной в точке (0, 6). Значения ( y ) ниже этой кривой будут удовлетворять неравенству.
Шаг 2: Нахождение области решения
Теперь давайте понять, где две области пересекаются:
- Для этого приравняем верхнюю часть второго неравенства и нижнюю часть первого:
[
x^2 = 6 - x^2
]
Шаг 3: Решение уравнения
Переносим все члены в одну сторону:
[
x^2 + x^2 - 6 = 0 \implies 2x^2 - 6 = 0
]
Упрощаем:
[
2x^2 = 6 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}
]
Шаг 4: Оценка значений ( y )
Найдём соответствующие значения ( y ) для ( x = \sqrt{3} ) и ( x = -\sqrt{3} ):
[
y = x^2 = 3
]
Теперь подставим ( x = \sqrt{3} ) и ( x = -\sqrt{3} ) в второе неравенство:
[
y = 6 - x^2 = 6 - 3 = 3
]
Шаг 5: Область решений
Теперь у нас есть точки пересечения: ( (\sqrt{3}, 3) ) и ( (-\sqrt{3}, 3) ).
Теперь характеризуем область решений:
- Для значения ( x ) (или ( a )):
- ( x ) (или ( a )) может принимать значения от ( -\sqrt{3} ) до ( \sqrt{3} ):
[
-\sqrt{3} \leq a \leq \sqrt{3}
]
- Для значения ( y ) (или ( b )):
- Значение ( y ) (или ( b )) должно быть не меньше ( a^2 ) и не больше ( 6 - a^2 ).
Минимальное значение ( y ) достигается при ( a = \pm\sqrt{3} ):
[
b \geq 3 \quad \text{и} \quad b \leq 3
]
Таким образом, ( b = 3 ).
Ответы
а) Число ( a ) (или ( x )) может принимать значения от ( -\sqrt{3} ) до ( \sqrt{3} ).
б) Число ( b ) (или ( y )) может принимать только значение ( 3 ).
