На координатной плоскости заданы точки: А (-1; 6), В (-4; -9), С (8; -10) и D (7; -27). Найдите длину вектора 3АС − 2𝐵 𝐷 .

Чтобы найти длину вектора \( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} \), начнем с нахождения векторов \(\overline{AC}\) и \(\overline{BD}\), а затем выполним указанные операции.

Шаг 1: Найдем вектор \(\overline{AC}\)

Если у нас есть точки \( A(-1, 6) \) и \( C(8, -10) \), то координаты вектора \(\overline{AC}\) рассчитываются по формуле: \[ \overline{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) \]

Подставляем координаты точек \( A \) и \( C \): \[ \overline{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16) \]

Шаг 2: Найдем вектор \(\overline{BD}\)

Теперь найдём вектор \(\overline{BD}\) для точек \( B(-4, -9) \) и \( D(7, -27) \): \[ \overline{BD} = D - B = (x_D - x_B, y_D - y_B) \]

Подставляем координаты точек \( B \) и \( D \): \[ \overline{BD} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18) \]

Шаг 3: Вычисление \( 3\overline{AC} \) и \( 2\overline{BD} \)

Теперь мы можем умножить векторы на коэффициенты:

1. Для \( 3\overline{AC} \): \[ 3\overline{AC} = 3 \cdot (9, -16) = (27, -48) \]

2. Для \( 2\overline{BD} \): \[ 2\overline{BD} = 2 \cdot (11, -18) = (22, -36) \]

Шаг 4: Вычисляем \( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} \)

Теперь вычтем второй вектор из первого: \[ 3\overline{AC} - 2\overline{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) \]

Вычислим координаты: \[ 3\overline{AC} - 2\overline{BD} = (27 - 22, -48 + 36) = (5, -12) \]

Шаг 5: Найдем длину вектора \( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} \)

Длина вектора \((x, y)\) вычисляется по формуле: \[ \|\overline{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Применим это к нашему вектору: \[ \| (5, -12) \| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ

Таким образом, длина вектора \( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} \) равна \( 13 \).