Чтобы найти длину вектора ( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} ), начнем с нахождения векторов (\overline{AC}) и (\overline{BD}), а затем выполним указанные операции.
Шаг 1: Найдем вектор (\overline{AC})
Если у нас есть точки ( A(-1, 6) ) и ( C(8, -10) ), то координаты вектора (\overline{AC}) рассчитываются по формуле:
[
\overline{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A)
]
Подставляем координаты точек ( A ) и ( C ):
[
\overline{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
Шаг 2: Найдем вектор (\overline{BD})
Теперь найдём вектор (\overline{BD}) для точек ( B(-4, -9) ) и ( D(7, -27) ):
[
\overline{BD} = D - B = (x_D - x_B, y_D - y_B)
]
Подставляем координаты точек ( B ) и ( D ):
[
\overline{BD} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18)
]
Шаг 3: Вычисление ( 3\overline{AC} ) и ( 2\overline{BD} )
Теперь мы можем умножить векторы на коэффициенты:
Для ( 3\overline{AC} ):
[
3\overline{AC} = 3 \cdot (9, -16) = (27, -48)
]
Для ( 2\overline{BD} ):
[
2\overline{BD} = 2 \cdot (11, -18) = (22, -36)
]
Шаг 4: Вычисляем ( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} )
Теперь вычтем второй вектор из первого:
[
3\overline{AC} - 2\overline{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36))
]
Вычислим координаты:
[
3\overline{AC} - 2\overline{BD} = (27 - 22, -48 + 36) = (5, -12)
]
Шаг 5: Найдем длину вектора ( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} )
Длина вектора ((x, y)) вычисляется по формуле:
[
|\overline{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Применим это к нашему вектору:
[
| (5, -12) | = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ
Таким образом, длина вектора ( 3\overline{AC} - 2\overline{BD} ) равна ( 13 ).
