Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Грузовик выехал из деревни и проехал 42 км, когда из деревни выехал автомобиль.
- Автомобиль проехал 30 км, а за это время грузовик находился на расстоянии 60 км от деревни.
Необходимо найти:
Расстояние от деревни до города.
Обозначим переменные:
- Пусть ( D ) – расстояние от деревни до города.
- Скорость грузовика обозначим как ( V_g ), а скорость автомобиля - как ( V_a ).
Шаг 1: Найдем время, за которое грузовик проехал 42 км.
Грузовик проехал 42 км. Обозначим время, за которое он проехал это расстояние, как ( t_g ).
Формула для нахождения времени:
[
t_g = \frac{S}{V}
]
где ( S ) – расстояние, ( V ) – скорость.
Шаг 2: Рассмотрим, что происходит когда автомобиль выехал.
Когда грузовик проехал 42 км, автомобиль только начал движение. Пусть ( t_a ) – время, которое автомобиль двигался до того момента, когда он проехал 30 км.
Так как грузовик начал движение на 42 км раньше, то:
[
t_g = t_a + t_{доп}
]
где ( t_{доп} ) – время, которое грузовик потратил, чтобы проехать оставшееся расстояние до города после того, как автомобиль проехал 30 км.
Шаг 3: Найдем оставшееся расстояние для грузовика.
Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 60 км от деревни. Значит, грузовик проехал:
[
D - 60 \text{ км}
]
Обозначим это расстояние, которое проехал грузовик после 42 км, как ( D - 60 - 42 = D - 102 \text{ км}).
Шаг 4: Выразим время для грузовика и автомобиля.
Скорость грузовика ( V_g ) и автомобиля ( V_a ):
- Грузовик: ( t_g = \frac{42}{V_g} + \frac{D - 102}{V_g} = \frac{D - 60}{V_g} )
- Автомобиль: ( t_a = \frac{30}{V_a} )
Шаг 5: Установим равенство времени.
Грузовик и автомобиль прибыли одновременно:
[
\frac{D - 60}{V_g} = \frac{30}{V_a}
]
Шаг 6: Подставим известные расстояния.
Мы знаем, что грузовик проехал на 42 км больше, чем расстояние, которое проехал автомобиль:
[
\frac{42}{V_g} + \frac{D - 102}{V_g} = \frac{30}{V_a}
]
Шаг 7: Все становится проще.
Теперь найдем соотношение:
- Время, которое грузовик проехал 42 км до момента, когда город:
[
t_g = \frac{D - 60}{V_g}
]
- сочетая это с временем, которое автомобиль проехал 30 км, соответственно, мы можем использовать:
Раеём выражение для скорости
Пусть ( V_g = 2V_a ):
[
\frac{D - 60}{2V_a} = \frac{30}{V_a}
]
Умножаем на ( V_a ):
[
\frac{D - 60}{2} = 30
]
Упростим:
[
D - 60 = 60 \rightarrow D = 120 \text{ км}
]
Ответ:
Расстояние от деревни до города составляет 120 км.
