Давайте последовательно решим предложенные задачи, соблюдая порядок их поступления и подробно объясняя решение каждой из них.
Задача 1:
На сельскохозяйственные работы из трех бригад выделяют по одному человеку. Известно, что в первой бригаде 15 человек, во второй – 12, в третьей – 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если известно, что на сельскохозяйственные работы может быть отправлен каждый рабочий.
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать принцип умножения.
- Из первой бригады можно выбрать 1 человека из 15. Это можно выразить как ( C(15, 1) = 15 ).
- Из второй бригады можно выбрать 1 человека из 12. Это ( C(12, 1) = 12 ).
- Из третьей бригады можно выбрать 1 человека из 10. Это ( C(10, 1) = 10 ).
Теперь, чтобы получить общее число возможных групп, мы перемножим количество способов выбрать человека из каждой бригады:
[
\text{Общее количество групп} = C(15, 1) \times C(12, 1) \times C(10, 1) = 15 \times 12 \times 10 = 1800.
]
Ответ: 1800.
Задача 2:
Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады?
Для решения этой задачи мы также будем использовать формулу для сочетаний, так как порядок не важен.
Формула для сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество людей (в нашем случае 12), а ( k ) — количество выбираемых (в нашем случае 5).
Подставим значения:
[
C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
]
Теперь упростим:
[
C(12, 5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792.
]
Ответ: 792.
Задача 3:
Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «песня».
Общее количество перестановок 5 различных букв:
[
P(5) = 5! = 120.
]
Существует только один способ для того, чтобы буквы были расположены именно в порядке слова «песня». Таким образом вероятность, что ребенок соберет слово «песня»:
[
P(\text{слово "песня"}) = \frac{1}{120}.
]
Ответ: (\frac{1}{120}).
Задача 4:
Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5).
Общее количество способов расположить 5 книг:
[
P(5) = 5! = 120.
]
Из них только один способ соответствует правильному порядку (1, 2, 3, 4, 5). Следовательно, вероятность того, что книги разместятся именно в таком порядке:
[
P(\text{порядок n}) = \frac{1}{120}.
]
Ответ: (\frac{1}{120}).
Задача 5:
В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры.
Для этой задачи используем формулу Бернулли.
- Сначала вычислим вероятности того, что конкретная камера включена или выключена:
- Камера 1 включена: ( p_1 = 0.9 )
- Камера 2 включена: ( p_2 = 0.8 )
- Камера 3 включена: ( p_3 = 0.7 )
Итак, вероятность, что две камеры включены, а третья выключена, можно выразить через комбинаторный подход.
Существует 3 способа выбрать, какая из камер будет выключена. Возможные сочетания:
- 1 выключена, 2 включены: ( 0.9 \times 0.8 \times (1-0.7) = 0.9 \times 0.8 \times 0.3 = 0.216 )
- 2 выключена, 1 включена: ( (1-0.9) \times 0.8 \times 0.7 = 0.1 \times 0.8 \times 0.7 = 0.056 )
- 3 выключена, 2 включены: ( 0.9 \times (1-0.8) \times 0.7 = 0.9 \times 0.2 \times 0.7 = 0.126 )
Теперь комбинируем все возможные случаи:
[
P(\text{2 включены}) = C(3, 2) \cdot (0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 + 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7) = 3 \cdot (0.216 + 0.056 + 0.126) = 3 \cdot 0.398 = 1.194.
]
Исправим на вероятность (в данной формуле выйдет больше 1, что недопустимо).
Ошиблись в подсчетах вероятностей. Допустим^, что мы не сразу находили исключительные или комбинационные желания.
Пусть камеры будут: ( K_1, K_2, K_3 ) включены:
- Так, либо первая и вторая группы, воровка, включенная, и так далее с имеющимися вероятностями.
Теперь, правильно пролет к:
[
0.9 \times 0.8 \times (1 - 0.7) + 0.9 \times (1 - 0.8) \times 0.7 + (1 - 0.9) \times 0.8 \times 0.7
]
Следовательно, вероятностная формула:
[
P(2) = 0.216 + 0.056 + 0.126 = 0.398.
]
В итоге попытаемся довести до значения на ее основании.
Ответ: 0.398.
