Давайте проанализируем каждую задачу по очереди.
Задача 1.10
Условие: Вероятность того, что забег выигрывает Джим, равна ( P(J) = \frac{1}{3} ), а вероятность того, что забег выигрывает Том, равна ( P(T) = \frac{1}{5} ). Найдите вероятность того, что забег выиграет один из них.
Решение:
Чтобы найти вероятность того, что забег выиграет один из двух участников, нужно использовать формулу вероятности объединения событий (если события независимы):
[
P(J \cup T) = P(J) + P(T) - P(J \cap T)
]
Однако, в данной задаче мы предполагаем, что невозможно, чтобы оба выиграли одновременно, поэтому ( P(J \cap T) = 0 ).
Подставляем известные значения:
[
P(J \cup T) = P(J) + P(T) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5}
]
Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15:
[
P(J) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \quad P(T) = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}
]
Теперь складываем:
[
P(J \cup T) = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}
]
Ответ: Вероятность того, что забег выиграет один из них, составляет ( \frac{8}{15} ).
Задача 1.11
Условие: В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Найдите вероятность выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение:
Общее число выигрышей составляет:
[
150 + 50 = 200
]
Вероятность выигрыша для владельца одного билета можно найти следующим образом:
[
P(выигрыша) = \frac{число , выигрышей}{общее , число , билетов} = \frac{200}{10000}
]
Упростим дробь:
[
P(выигрыша) = \frac{200}{10000} = \frac{1}{50} = 0.02
]
Ответ: Вероятность выигрыша составляет ( 0.02 ) или ( 2% ).
Задача 1.12
Условие: Вероятность попадания в опухолевую клетку «мишень» первого радионуклида ( P_1 = 0.7 ), а второго ( P_2 = 0.8 ). Найти вероятность попадания в клетку мишень, если бы одновременно использовались оба препарата.
Решение:
Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один из препаратов попадет в клетку «мишень», нам нужно найти complement (дополнение):
[
P(не , попадает) = P(не , P_1) \cdot P(не , P_2) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2)
]
Подставим значения:
[
P(не , попадает) = (1 - 0.7) \cdot (1 - 0.8) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06
]
Теперь можем найти желаемую вероятность:
[
P(попадает) = 1 - P(не , попадает) = 1 - 0.06 = 0.94
]
Ответ: Вероятность попадания в клетку мишень составляет ( 0.94 ).
Задача 1.13
Условие: В популяции плодовой мушки 25% мух имеет мутацию глаз, 50% — мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют и мутацию крыльев. Найдите вероятность того, что у мухи окажется хотя бы одна из этих мутаций.
Решение:
Сначала определим вероятности:
- ( P(G) = 0.25 ) (мутация глаз)
- ( P(W) = 0.50 ) (мутация крыльев)
- ( P(G \cap W) = 0.40 ) (одновременно мутация глаз и крыльев)
Используем формулу для вероятности объединения:
[
P(G \cup W) = P(G) + P(W) - P(G \cap W)
]
Подставляем значения:
[
P(G \cup W) = 0.25 + 0.50 - 0.40 = 0.35
]
Ответ: Вероятность того, что у мухи окажется хотя бы одна из этих мутаций, составляет ( 0.35 ) или ( 35% ).
