Задача 1.10. Пусть вероятность того, что забег выигрывает Джим, равна 1/3, а вероятность того, что забег выигрывает, Том равна 1/5. Какова вероятность того, что забег выиграет…

Давайте проанализируем каждую задачу по очереди.

Задача 1.10

Условие: Вероятность того, что забег выигрывает Джим, равна \( P(J) = \frac{1}{3} \), а вероятность того, что забег выигрывает Том, равна \( P(T) = \frac{1}{5} \). Найдите вероятность того, что забег выиграет один из них.

Решение: Чтобы найти вероятность того, что забег выиграет один из двух участников, нужно использовать формулу вероятности объединения событий (если события независимы):

\[ P(J \cup T) = P(J) + P(T) - P(J \cap T) \]

Однако, в данной задаче мы предполагаем, что невозможно, чтобы оба выиграли одновременно, поэтому \( P(J \cap T) = 0 \).

Подставляем известные значения:

\[ P(J \cup T) = P(J) + P(T) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \]

Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15:

\[ P(J) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}, \quad P(T) = \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \]

Теперь складываем:

\[ P(J \cup T) = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \]

Ответ: Вероятность того, что забег выиграет один из них, составляет \( \frac{8}{15} \).

---

Задача 1.11

Условие: В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Найдите вероятность выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Общее число выигрышей составляет:

\[ 150 + 50 = 200 \]

Вероятность выигрыша для владельца одного билета можно найти следующим образом:

\[ P(выигрыша) = \frac{число \, выигрышей}{общее \, число \, билетов} = \frac{200}{10000} \]

Упростим дробь:

\[ P(выигрыша) = \frac{200}{10000} = \frac{1}{50} = 0.02 \]

Ответ: Вероятность выигрыша составляет \( 0.02 \) или \( 2\% \).

---

Задача 1.12

Условие: Вероятность попадания в опухолевую клетку «мишень» первого радионуклида \( P_1 = 0.7 \), а второго \( P_2 = 0.8 \). Найти вероятность попадания в клетку мишень, если бы одновременно использовались оба препарата.

Решение: Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один из препаратов попадет в клетку «мишень», нам нужно найти complement (дополнение):

\[ P(не \, попадает) = P(не \, P_1) \cdot P(не \, P_2) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \]

Подставим значения:

\[ P(не \, попадает) = (1 - 0.7) \cdot (1 - 0.8) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06 \]

Теперь можем найти желаемую вероятность:

\[ P(попадает) = 1 - P(не \, попадает) = 1 - 0.06 = 0.94 \]

Ответ: Вероятность попадания в клетку мишень составляет \( 0.94 \).

---

Задача 1.13

Условие: В популяции плодовой мушки 25% мух имеет мутацию глаз, 50% — мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют и мутацию крыльев. Найдите вероятность того, что у мухи окажется хотя бы одна из этих мутаций.

Решение: Сначала определим вероятности:

• \( P(G) = 0.25 \) (мутация глаз)
• \( P(W) = 0.50 \) (мутация крыльев)
• \( P(G \cap W) = 0.40 \) (одновременно мутация глаз и крыльев)

Используем формулу для вероятности объединения:

\[ P(G \cup W) = P(G) + P(W) - P(G \cap W) \]

Подставляем значения:

\[ P(G \cup W) = 0.25 + 0.50 - 0.40 = 0.35 \]

Ответ: Вероятность того, что у мухи окажется хотя бы одна из этих мутаций, составляет \( 0.35 \) или \( 35\% \).