Периметр прямоугольника равен 18см Какой может быть его наименьшая сторона, если его площадь не больше 20см² Найдите все возможные варианты.

Для решения задачи начнем с формулировки всех данных: 1. Периметр прямоугольника равен 18 см. 2. Площадь прямоугольника не больше 20 см². 3. Нам нужно найти наименьшую сторону прямоугольника. Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a \) — это одна сторона, а \( b \) — другая сторона. ### Шаг 1: Используем формулы Сначала вспомним формулы для периметра и площади прямоугольника. - Периметр \( P = 2(a + b) \) - Площадь \( S = a \cdot b \) ### Шаг 2: Найдем связь между сторонами из периметра Из условия периметра: \[ 2(a + b) = 18 \] Делим обе стороны на 2: \[ a + b = 9 \] ### Шаг 3: Выразим одну сторону через другую Выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 9 - a \] ### Шаг 4: Подставим в условие площади Теперь подставим это выражение в условие для площади: \[ S = a \cdot b \leq 20 \] подставляем \( b \): \[ a(9 - a) \leq 20 \] ### Шаг 5: Преобразуем неравенство Раскроем скобки: \[ 9a - a^2 \leq 20 \] Переносим все в одну сторону: \[ -a^2 + 9a - 20 \leq 0 \] Умножим на -1, меняя знак неравенства: \[ a^2 - 9a + 20 \geq 0 \] ### Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения Решим квадратное уравнение \( a^2 - 9a + 20 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \] Корни уравнения: \[ a_1 = \frac{9 + \sqrt{D}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5 \] \[ a_2 = \frac{9 - \sqrt{D}}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 \] ### Шаг 7: Интервал для a Теперь мы знаем, что \( a^2 - 9a + 20 \geq 0 \) выполняется, когда: - \( a \leq 4 \) или \( a \geq 5 \) ### Шаг 8: Наименьшая сторона Поскольку по условию \( a \) и \( b \) — это стороны прямоугольника, и обе стороны должны быть положительными, рассматриваем значения: - При \( a \) в диапазоне от \( 0 \) до \( 4 \), - При \( a \) равном \( 4 \), \( b \) будет: \( b = 9 - 4 = 5 \). - При \( a \) равном \( 5 \), \( b \) будет: \( b = 9 - 5 = 4 \). ### Шаг 9: Проверка площади Если \( a = 4 \) и \( b = 5 \): \[ S = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см}^2 \quad \text{(допустимо)} \] Если \( a = 5 \) и \( b = 4 \): \[ S = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{см}^2 \quad \text{(допустимо)} \] Таким образом, наименьшая сторона прямоугольника может быть: ### Ответ Наименьшая сторона прямоугольника равна 4 см.