Периметр прямоугольника равен 18см Какой может быть его наименьшая сторона, если его площадь не больше 20см² Найдите все возможные варианты.
Для решения задачи начнем с формулировки всех данных:
- Периметр прямоугольника равен 18 см.
- Площадь прямоугольника не больше 20 см².
- Нам нужно найти наименьшую сторону прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a \) — это одна сторона, а \( b \) — другая сторона.
Шаг 1: Используем формулы
Сначала вспомним формулы для периметра и площади прямоугольника.
- Периметр \( P = 2(a + b) \)
- Площадь \( S = a \cdot b \)
Шаг 2: Найдем связь между сторонами из периметра
Из условия периметра:
\[ 2(a + b) = 18 \]
Делим обе стороны на 2:
\[ a + b = 9 \]
Шаг 3: Выразим одну сторону через другую
Выразим \( b \) через \( a \):
\[ b = 9 - a \]
Шаг 4: Подставим в условие площади
Теперь подставим это выражение в условие для площади:
\[ S = a \cdot b \leq 20 \] подставляем \( b \):
\[ a(9 - a) \leq 20 \]
Шаг 5: Преобразуем неравенство
Раскроем скобки:
\[ 9a - a^2 \leq 20 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ -a^2 + 9a - 20 \leq 0 \]
Умножим на -1, меняя знак неравенства:
\[ a^2 - 9a + 20 \geq 0 \]
Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение \( a^2 - 9a + 20 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \]
Корни уравнения:
\[ a_1 = \frac{9 + \sqrt{D}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5 \]
\[ a_2 = \frac{9 - \sqrt{D}}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 \]
Шаг 7: Интервал для a
Теперь мы знаем, что \( a^2 - 9a + 20 \geq 0 \) выполняется, когда:
- \( a \leq 4 \) или \( a \geq 5 \)
Шаг 8: Наименьшая сторона
Поскольку по условию \( a \) и \( b \) — это стороны прямоугольника, и обе стороны должны быть положительными, рассматриваем значения:
- При \( a \) в диапазоне от \( 0 \) до \( 4 \),
- При \( a \) равном \( 4 \), \( b \) будет: \( b = 9 - 4 = 5 \).
- При \( a \) равном \( 5 \), \( b \) будет: \( b = 9 - 5 = 4 \).
Шаг 9: Проверка площади
Если \( a = 4 \) и \( b = 5 \):
\[ S = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см}^2 \quad \text{(допустимо)} \]
Если \( a = 5 \) и \( b = 4 \):
\[ S = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{см}^2 \quad \text{(допустимо)} \]
Таким образом, наименьшая сторона прямоугольника может быть:
Ответ
Наименьшая сторона прямоугольника равна 4 см.
