Нарисуйте графы со степенями вершин 1) 2, 2, 1, 3; 2) 2, 2, 3, 3; 4) 1, 1, 2, 2; 5) 3, 3, 3, 3; 3) 0, 2, 2, 2; 5 6) 2, 2, 2, 3. Для каждого пункта посчитайте суммарную степень…
Нарисуйте графы со степенями вершин 1) 2, 2, 1, 3; 2) 2, 2, 3, 3; 4) 1, 1, 2, 2; 5) 3, 3, 3, 3; 3) 0, 2, 2, 2; 5 6) 2, 2, 2, 3. Для каждого пункта посчитайте суммарную степень вершин и количество рёбер. Как вы думаете, как связаны эти два количества? Почему это верно для любого графа
Чтобы решить данную задачу, давайте последовательно разберем каждую из предложенных степеней вершин. Мы также будем определять количество рёбер и анализировать связи между суммарной степенью вершин и числом рёбер.
1. Понимание степеней вершин
Степень вершины в графе — это количество рёбер, которые исходят из этой вершины. Если у нас есть набор степеней вершин, мы можем нарисовать граф, соответствующий этим степеням, и посчитать общее количество рёбер.
Формула для подсчета количества рёбер: \[ E = \frac{S}{2} \] где \( S \) — сумма степеней всех вершин, а \( E \) — количество рёбер. Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины, то есть учитывается дважды при подсчете степеней.
2. Решение задачи
Теперь рассмотрим каждый набор степеней:
Степени: 2, 2, 1, 3
- Сумма степеней: \( 2 + 2 + 1 + 3 = 8 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{8}{2} = 4 \)
- Ответ: 4 рёбра
Степени: 2, 2, 3, 3
- Сумма степеней: \( 2 + 2 + 3 + 3 = 10 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{10}{2} = 5 \)
- Ответ: 5 рёбер
Степени: 0, 2, 2, 2
- Сумма степеней: \( 0 + 2 + 2 + 2 = 6 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{6}{2} = 3 \)
- Ответ: 3 рёбра
Степени: 1, 1, 2, 2
- Сумма степеней: \( 1 + 1 + 2 + 2 = 6 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{6}{2} = 3 \)
- Ответ: 3 рёбра
Степени: 3, 3, 3, 3
- Сумма степеней: \( 3 + 3 + 3 + 3 = 12 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{12}{2} = 6 \)
- Ответ: 6 рёбер
Степени: 2, 2, 2, 3
- Сумма степеней: \( 2 + 2 + 2 + 3 = 9 \)
- Количество рёбер: \( E = \frac{9}{2} = 4.5 \) (такое количество рёбер невозможно, граф с такими степенями не может существовать, так как сумма степеней нечетная).
Обобщение
Суммарная степень вершин всегда четная для простых неориентированных графов, так как каждое ребро добавляет двойной вклад (по одной единице к степени каждой из соединённых вершин). Поэтому для любого корректного набора степеней сумма должна быть четной.
Заключение
При расчете степеней и рёбер важно помнить, что сумма степеней всегда будет четной для конструктивных графов, и именно это связывает количество рёбер и сумму степеней.
