Для решения данной задачи мы воспользуемся системой уравнений и формулой арифметической прогрессии.
Дано:
- Общее количество задач: ( S = 536 )
- Задачи в первый день: ( a = 67 )
- Задачи в последний день: ( l = 67 )
Обозначим:
- Количество дней, за которое она составила все задачи: ( n )
- Количество задач, которые составляются каждый день: ( d )
Мы знаем, что Лена составляет задачи каждый день все больше, и можем записать количество задач, составленных в течение ( n ) дней, как:
- 1-й день: ( a = 67 )
- 2-й день: ( a + d )
- 3-й день: ( a + 2d )
- ...
- n-й день: ( a + (n-1)d )
Так как в последний (n-й) день Лена также составила 67 задач, это значит, что:
[
a + (n-1)d = 67
]
Это уравнение можно упростить до:
[
67 + (n-1)d = 67
]
[
(n-1)d = 0
]
Следовательно, ( d = 0 ) и ( n - 1 ) не может быть больше 0, мы делаем вывод, что ее количество задач в первый и последний день остаётся неизменным, и, на самом деле, количество задач в каждый день должно быть постоянным.
Теперь используем формулу для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии:
[
S = \frac{n}{2} (a + l)
]
Подставим известные значения:
[
536 = \frac{n}{2} (67 + 67) = \frac{n}{2} \cdot 134
]
Упрощаем уравнение:
[
536 = 67n
]
Решаем его:
[
n = \frac{536}{67}
]
[
n = 8
]
Ответ:
Лена составила все задачи за 8 дней.
Проверка:
Если Лена составляет 67 задач каждый день, то за 8 дней она составит:
[
67 \times 8 = 536
]
Таким образом, решение задачи верно.
