Лена должна составить 536 задач. Ежедневно она составляет на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день и послед-ний день…

Для решения данной задачи мы воспользуемся системой уравнений и формулой арифметической прогрессии.

Дано:

• Общее количество задач: \( S = 536 \)
• Задачи в первый день: \( a = 67 \)
• Задачи в последний день: \( l = 67 \)

Обозначим:

• Количество дней, за которое она составила все задачи: \( n \)
• Количество задач, которые составляются каждый день: \( d \)

Мы знаем, что Лена составляет задачи каждый день все больше, и можем записать количество задач, составленных в течение \( n \) дней, как:

• 1-й день: \( a = 67 \)
• 2-й день: \( a + d \)
• 3-й день: \( a + 2d \)
• ...
• n-й день: \( a + (n-1)d \)

Так как в последний (n-й) день Лена также составила 67 задач, это значит, что:

\[ a + (n-1)d = 67 \]

Это уравнение можно упростить до:

\[ 67 + (n-1)d = 67 \] \[ (n-1)d = 0 \]

Следовательно, \( d = 0 \) и \( n - 1 \) не может быть больше 0, мы делаем вывод, что ее количество задач в первый и последний день остаётся неизменным, и, на самом деле, количество задач в каждый день должно быть постоянным.

Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n}{2} (a + l) \]

Подставим известные значения:

\[ 536 = \frac{n}{2} (67 + 67) = \frac{n}{2} \cdot 134 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 536 = 67n \]

Решаем его:

\[ n = \frac{536}{67} \] \[ n = 8 \]

Ответ:

Лена составила все задачи за 8 дней.

Проверка:

Если Лена составляет 67 задач каждый день, то за 8 дней она составит: \[ 67 \times 8 = 536 \] Таким образом, решение задачи верно.