Чтобы определить координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением ( x^2 + 4x + y^2 = 10 ), необходимо преобразовать это уравнение к стандартному виду уравнения окружности. Уравнение окружности в стандартной форме выглядит так:
[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
]
где ((a, b)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус окружности.
Шаг 1: Преобразуем уравнение
Начнем с уравнения:
[
x^2 + 4x + y^2 = 10
]
Сначала выделим полный квадрат для (x). Для этого:
- Возьмем коэффициент при (x) (это (4)), разделим его на (2) и возведем в квадрат. Получится:
[
\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4
]
- Добавим и вычтем это число внутри уравнения:
[
x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 = 10
]
Это упрощается до:
[
(x + 2)^2 + y^2 - 4 = 10
]
- Переносим (-4) на правую сторону:
[
(x + 2)^2 + y^2 = 10 + 4
]
Шаг 2: Приведем к стандартному виду
Теперь у нас получается:
[
(x + 2)^2 + y^2 = 14
]
Шаг 3: Определяем центр и радиус
Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:
[
(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = \sqrt{14}^2
]
Из этого уравнения видно, что:
- Координаты центра окружности ((a, b) = (-2, 0)).
- Радиус (r = \sqrt{14}).
Ответ
Координаты центра окружности: ((-2, 0)).
Радиус окружности: (\sqrt{14}).
