Реши уравнение x^2-4x-12/x^2-4x-4=0 с помощью замены переменной. Чему равна сумма корней уравнения с ведённой переменной? Чему равна сумму корней исходного уравнения?
Для решения уравнения \(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 4x - 4} = 0\) начнем с определения, когда дробь равна нулю.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Итак, мы сначала решим уравнение числителя:
Числитель: \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \] Мы можем решить это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -12\).
Сначала находим дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \] Теперь подставляем дискриминант в формулу для корней: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8}{2} \] Таким образом, у нас два корня: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Знаменатель: Теперь убедимся в том, что знаменатель не равен нулю для корней, найденных ранее. Решим уравнение в знаменателе: \[ x^2 - 4x - 4 = 0 \] Снова применяем формулу для корней: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 \] Тогда находим корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} \] Это приращения, которые не равны ни \(6\), ни \(-2\), значит, оба корня числителя допустимы.
Сумма корней уравнения: Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\): \[ S = x_1 + x_2 = 6 + (-2) = 4 \]
Сумма корней исходного уравнения: В исходном уравнении мы использовали только числитель, поэтому сумма корней исходного уравнения также будет такой же: \[ S = 4 \]
Таким образом, сумма корней уравнения с введённой переменной равна \(4\), и сумма корней исходного уравнения также равна \(4\).
