.

Для решения задачи используем свойства биссектрис.

Дано:

• Треугольник \( LQT \)
• Биссектрисы \( LK \) и \( QS \) пересекаются в точке \( M \)

Нужно найти значение угла \( \angle LMS \).

Решение

1. Свойство биссектрис:

   • Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности треугольника (точка \( M \)).

2. Свойство углов:

   • Точка пересечения биссектрис делит углы пополам.

3. Углы треугольника:

   • В каждом треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \).

4. Деление углов:

   • Если \( LK \) и \( QS \) — биссектрисы, значит \( \angle LMQ = \frac{1}{2} \angle LQT \).

5. Нахождение угла \(\angle LMS \):

   • Учитывая, что углы при точке пересечения биссектрис делят углы пополам, угол \( \angle LMS \) составляет \(\frac{1}{2}\) угла между прямыми, которые он делит.
   • В данном случае, так как \( \angle LMS = 90^\circ \) (он перпендикулярен длительным сторонам углов между биссектрисами).

Таким образом, угол \(\angle LMS\) равен \( 90^\circ \).

Запишите в ответе: \( \angle LMS = 90 \)