Найдите точку максимума функции y=(-4x-6)e^2x-7
Чтобы найти точку максимума функции \( y = (-4x - 6)e^{2x} - 7 \), нужно выполнить несколько шагов: найти производную, определить критические точки и проверить, являются ли они максимумами или минимумами.
Шаг 1: Найдем производную функции
Для поиска критических точек, начнем с нахождения производной функции \( y \). Используем правило произведения для дифференцирования.
Функция состоит из двух частей: \( u = -4x - 6 \) и \( v = e^{2x} \).
Теперь найдем производную по правилу произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).
- \( u' = -4 \)
- \( v' = 2e^{2x} \) (по правилу дифференцирования экспоненты)
Теперь подставляем в формулу:
\[ y' = u'v + uv' = (-4)e^{2x} + (-4x - 6)(2e^{2x}) \]
Упрощаем:
\[ y' = -4e^{2x} - (8x + 12)e^{2x} \] \[ y' = (-4 - 8x - 12)e^{2x} = (-8x - 16)e^{2x} \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ (-8x - 16)e^{2x} = 0 \]
Поскольку \( e^{2x} \neq 0 \) для любого \( x \), у нас остается уравнение:
\[ -8x - 16 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ -8x = 16 \] \[ x = -2 \]
Шаг 3: Проверим, является ли найденная точка максимумом или минимумом
Для этого воспользуемся вторым производным тестом. Найдем вторую производную \( y'' \).
Дифференцируем первую производную \( y' = (-8x - 16)e^{2x} \):
Используем правило произведения снова:
- \((-8x - 16)' = -8\)
- \((e^{2x})' = 2e^{2x}\)
Теперь находим вторую производную:
\[ y'' = (-8)e^{2x} + (-8x - 16)(2e^{2x}) \]
Соберем все вместе:
\[ y'' = -8e^{2x} - (16x + 32)e^{2x} = (-8 - 16x - 32)e^{2x} \] \[ y'' = (-16x - 40)e^{2x} \]
Теперь подставим \( x = -2 \):
\[ y''(-2) = (-16(-2) - 40)e^{-4} = (32 - 40)e^{-4} = -8e^{-4} \]
Так как \( y''(-2) < 0 \), это указывает на то, что у нас есть максимум в точке \( x = -2 \).
Вывод
Координаты точки максимума:
Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = -2 \) в исходное уравнение:
\[ y(-2) = (-4(-2) - 6)e^{-4} - 7 = (8 - 6)e^{-4} - 7 \] \[ y(-2) = 2e^{-4} - 7 \]
Таким образом, точка максимума функции \( y \) имеет координаты:
\[ \boxed{\left(-2, 2e^{-4} - 7\right)} \]
