реши неравенсвто

Для решения неравенства \(\frac{2t^2 - 3}{3t^2 - 1} \leq 0\) используем метод интервалов, анализируя знаки числителя и знаменателя.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \(2t^2 - 3 = 0\)
     \(2t^2 = 3\)
     \(t^2 = \frac{3}{2}\)
     \(t = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\)

   • Знаменатель: \(3t^2 - 1 = 0\)
     \(3t^2 = 1\)
     \(t^2 = \frac{1}{3}\)
     \(t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)

2. Определим критические точки и интервалы:

   Критические точки: \(-\sqrt{\frac{3}{2}}\), \(-\sqrt{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)

   Интервалы: \((-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})\), \((-\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{1}{3}})\), \((-\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{1}{3}})\), \((\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{3}{2}})\), \((\sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)\)

3. Определим знаки на каждом интервале:

   • Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте в выражение \(\frac{2t^2 - 3}{3t^2 - 1}\).

   • Интервал \((-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})\): \[ t = -2, \quad \frac{2(-2)^2 - 3}{3(-2)^2 - 1} = \frac{8 - 3}{12 - 1} = \frac{5}{11} > 0 \]

   • Интервал \((-\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{1}{3}})\): \[ t = -1, \quad \frac{2(-1)^2 - 3}{3(-1)^2 - 1} = \frac{2 - 3}{3 - 1} = \frac{-1}{2} < 0 \]

   • Интервал \((-\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{1}{3}})\): \[ t = 0, \quad \frac{2(0)^2 - 3}{3(0)^2 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \]

   • Интервал \((\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{3}{2}})\): \[ t = 1, \quad \frac{2(1)^2 - 3}{3(1)^2 - 1} = \frac{2 - 3}{3 - 1} = \frac{-1}{2} < 0 \]

   • Интервал \((\sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)\): \[ t = 2, \quad \frac{2(2)^2 - 3}{3(2)^2 - 1} = \frac{8 - 3}{12 - 1} = \frac{5}{11} > 0 \]

4. Запишем решение:

   Неравенство \(\frac{2t^2 - 3}{3t^2 - 1} \leq 0\) выполняется на интервалах, где дробь отрицательна или равна нулю:

   \[ t \in [-\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{1}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{3}{2}}] \]

   Здесь квадратные скобки указывают закрытые интервалы, так как в этих точках числитель обращается в ноль и неравенство может быть равно нулю.

Таким образом, решение неравенства: \(t \in [-\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{1}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{\frac{3}{2}}]\).