В 9 б классе 12 учащихся сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической Олимпиаде ?

Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно выбрать 4 человека из 12, мы используем комбинации. Комбинации применяются для выбора объектов (в нашем случае — учащихся), когда порядок выбора не имеет значения.

Формула для вычисления количества сочетаний (комбинаций) из \(n\) элементов по \(k\) (где \(n\) — общее количество элементов, \(k\) — количество выбранных элементов) выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \(n!\) (факториал \(n\)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае:

• \(n = 12\) (общее количество учащихся)
• \(k = 4\) (количество учеников в команде)

Подставляем значения в формулу:

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \]

Теперь давайте упростим это выражение. Мы можем выразить \(12!\) как:

\[ 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \]

Тогда в формуле мы получим:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4! \cdot 8!} \]

Теперь сокращаем \(8!\) в числителе и знаменателе:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} \]

Теперь решим \(4!\):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} \]

Теперь вычислим числитель:

\[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \] \[ 1320 \times 9 = 11880 \]

Теперь делим на 24:

\[ C(12, 4) = \frac{11880}{24} = 495 \]

Таким образом, количество способов сформировать команду из 4 человек для участия в математической Олимпиаде равно 495.