Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно выбрать 4 человека из 12, мы используем комбинации. Комбинации применяются для выбора объектов (в нашем случае — учащихся), когда порядок выбора не имеет значения.
Формула для вычисления количества сочетаний (комбинаций) из (n) элементов по (k) (где (n) — общее количество элементов, (k) — количество выбранных элементов) выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где (n!) (факториал (n)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n).
В нашем случае:
- (n = 12) (общее количество учащихся)
- (k = 4) (количество учеников в команде)
Подставляем значения в формулу:
[
C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}
]
Теперь давайте упростим это выражение. Мы можем выразить (12!) как:
[
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!
]
Тогда в формуле мы получим:
[
C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4! \cdot 8!}
]
Теперь сокращаем (8!) в числителе и знаменателе:
[
C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!}
]
Теперь решим (4!):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24}
]
Теперь вычислим числитель:
[
12 \times 11 = 132
]
[
132 \times 10 = 1320
]
[
1320 \times 9 = 11880
]
Теперь делим на 24:
[
C(12, 4) = \frac{11880}{24} = 495
]
Таким образом, количество способов сформировать команду из 4 человек для участия в математической Олимпиаде равно 495.
