найдите первообразную функцию f(c)=x^5-4x,проходящию через точку м(2;24)
Чтобы найти первообразную функцию \( f(x) = x^5 - 4x \), которая проходит через точку \( M(2; 24) \), мы будем следовать следующим шагам:
Найти первообразную.
Для нахождения первообразной функции \( f(x) = x^5 - 4x \) нужно найти интеграл от этой функции.\[ F(x) = \int (x^5 - 4x) \, dx \]
При интегрировании применяем правило интегрирования для степеней \( x^n \):
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Таким образом, интегрируем каждое слагаемое:
\[ F(x) = \int x^5 \, dx - \int 4x \, dx \] \[ = \frac{x^{6}}{6} - 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C \] \[ = \frac{x^{6}}{6} - 2x^{2} + C \]
Здесь \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Использовать точку для нахождения \( C \).
Мы знаем, что функция проходит через точку \( M(2; 24) \). Это означает, что при \( x = 2 \) значение функции \( F(x) \) должно быть равно 24:\[ F(2) = 24 \]
Подставляем \( x = 2 \) в полученную первообразную:
\[ F(2) = \frac{2^{6}}{6} - 2(2^{2}) + C \] \[ = \frac{64}{6} - 2(4) + C \] \[ = \frac{64}{6} - 8 + C \] \[ = \frac{64}{6} - \frac{48}{6} + C \] \[ = \frac{16}{6} + C \] \[ = \frac{8}{3} + C \]
Теперь устанавливаем равенство:
\[ \frac{8}{3} + C = 24 \]
Вычтем \( \frac{8}{3} \) из обоих сторон:
\[ C = 24 - \frac{8}{3} \]
Чтобы выполнить вычитание, нужно привести 24 к общему знаменателю:
\[ C = \frac{72}{3} - \frac{8}{3} \] \[ = \frac{64}{3} \]
Записать окончательную формулу первообразной.
Подставляем значение \( C \) обратно в выражение для первообразной:\[ F(x) = \frac{x^{6}}{6} - 2x^{2} + \frac{64}{3} \]
Таким образом, искомая первообразная функция, проходящая через точку \( M(2; 24) \):
\[ F(x) = \frac{x^{6}}{6} - 2x^{2} + \frac{64}{3} \]
