Реши задачу

Давайте разберем каждую из задач пошагово.

Задача 1

Найти площадь круга и длину его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна \(5\sqrt{3} \, \text{см}\).

Решение:

1. Радиус окружности:

   • В правильном треугольнике радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной \( a \) уравнением \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
   • Подставим \( a = 5\sqrt{3} \): \[ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \, \text{см} \]

2. Площадь круга:

   • Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \). \[ S = \pi \times 5^2 = 25\pi \, \text{см}^2 \]

3. Длина окружности:

   • Формула длины окружности: \( C = 2\pi R \). \[ C = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{см} \]

Задача 2

Вычислить длину дуги окружности с радиусом \(4 \, \text{см}\), если градусная мера равна \(120^\circ\).

Решение:

1. Длина дуги \( L \):
   • Формула: \( L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi R \).
   • Подставим значения: \(\alpha = 120^\circ\), \(R = 4 \, \text{см}\). \[ L = \frac{120}{360} \times 2\pi \times 4 = \frac{1}{3} \times 8\pi = \frac{8\pi}{3} \, \text{см} \]

Задача 3

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен \(6\sqrt{3} \, \text{см}\). Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Решение:

1. Сторона треугольника:

   • Периметр правильного треугольника \( P = 3a \), откуда \( a = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \).

2. Радиус описанной окружности:

   • Для правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \, \text{см} \).

3. Сторона правильного шестиугольника:

   • Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с центром в середине окружности. Сторона каждого такого треугольника равна \( R = 2 \).

4. Периметр шестиугольника:

   • Периметр шестиугольника \( P_{\text{hex}} = 6 \times 2 = 12 \, \text{см} \).

Это полные решения всех трех задач.