Реши задачу

Давайте разберем каждую из задач пошагово. ### Задача 1 Найти площадь круга и длину его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна \(5\sqrt{3} \, \text{см}\). **Решение:** 1. **Радиус окружности:** - В правильном треугольнике радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной \( a \) уравнением \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). - Подставим \( a = 5\sqrt{3} \): \[ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \, \text{см} \] 2. **Площадь круга:** - Формула площади круга: \( S = \pi R^2 \). \[ S = \pi \times 5^2 = 25\pi \, \text{см}^2 \] 3. **Длина окружности:** - Формула длины окружности: \( C = 2\pi R \). \[ C = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{см} \] ### Задача 2 Вычислить длину дуги окружности с радиусом \(4 \, \text{см}\), если градусная мера равна \(120^\circ\). **Решение:** 1. **Длина дуги \( L \):** - Формула: \( L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi R \). - Подставим значения: \(\alpha = 120^\circ\), \(R = 4 \, \text{см}\). \[ L = \frac{120}{360} \times 2\pi \times 4 = \frac{1}{3} \times 8\pi = \frac{8\pi}{3} \, \text{см} \] ### Задача 3 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен \(6\sqrt{3} \, \text{см}\). Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. **Решение:** 1. **Сторона треугольника:** - Периметр правильного треугольника \( P = 3a \), откуда \( a = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \). 2. **Радиус описанной окружности:** - Для правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \, \text{см} \). 3. **Сторона правильного шестиугольника:** - Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников с центром в середине окружности. Сторона каждого такого треугольника равна \( R = 2 \). 4. **Периметр шестиугольника:** - Периметр шестиугольника \( P_{\text{hex}} = 6 \times 2 = 12 \, \text{см} \). Это полные решения всех трех задач.