Для решения задачи, давайте обозначим следующие переменные:
- ( v_t ) - скорость товарного поезда (км/ч).
- ( v_e = v_t + 20 ) - скорость экспресс-поезда (км/ч), так как его скорость на 20 км/ч больше.
Расстояние, которое проезжают оба поезда, равно 700 км.
Сначала найдем время, за которое каждый из поездов проходит это расстояние:
Время товарного поезда:
[
t_t = \frac{700}{v_t}
]
Время экспресс-поезда:
[
t_e = \frac{700}{v_e} = \frac{700}{v_t + 20}
]
Согласно условию задачи, экспресс проходит это расстояние на 4 часа быстрее, чем товарный. Это можно записать как:
[
t_t - t_e = 4
]
Подставим выражения для ( t_t ) и ( t_e ):
[
\frac{700}{v_t} - \frac{700}{v_t + 20} = 4
]
Теперь давайте решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( v_t(v_t + 20) ), чтобы избавиться от дробей:
[
700(v_t + 20) - 700v_t = 4v_t(v_t + 20)
]
Упрощаем:
[
700v_t + 14000 - 700v_t = 4v_t^2 + 80v_t
]
Сокращаем ( 700v_t ):
[
14000 = 4v_t^2 + 80v_t
]
Теперь упростим уравнение:
[
4v_t^2 + 80v_t - 14000 = 0
]
Разделим все члены на 4, чтобы упростить:
[
v_t^2 + 20v_t - 3500 = 0
]
Теперь можем применить формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
v_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = 20 ), и ( c = -3500 ).
Подставим значения:
[
v_t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500)}}{2 \cdot 1}
]
[
v_t = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 14000}}{2}
]
[
v_t = \frac{-20 \pm \sqrt{14400}}{2}
]
[
v_t = \frac{-20 \pm 120}{2}
]
Теперь найдем два решения:
- ( v_t = \frac{100}{2} = 50 ) (принимаем это решение, так как скорость не может быть отрицательной).
- ( v_t = \frac{-140}{2} = -70 ) (отбрасываем это решение).
Теперь найдём скорость экспресс-поезда:
[
v_e = v_t + 20 = 50 + 20 = 70
]
Таким образом, скорости поездов:
- Скорость товарного поезда ( v_t = 50 ) км/ч.
- Скорость экспресс-поезда ( v_e = 70 ) км/ч.
Ответ:
Скорость товарного поезда - 50 км/ч, скорость экспресс-поезда - 70 км/ч.
