Вычислите с помощью формул сложения 1. косинус 135 градусов 2. косинус 5П:4 3. синус 150 градусов 4. синус 4П:3 5. косинус 72 градуса косинса18 градусов- синус 72 градусов синус18…

Давайте поэтапно решим каждую из заданных задач, используя формулы сложения и свойства тригонометрических функций.

1. Вычисление косинуса 135 градусов

Косинус 135 градусов можно выразить через формулы сложения. Заметим, что \(135^\circ = 90^\circ + 45^\circ\).

Используем формулу сложения для косинуса: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \]

Подставим \(a = 90^\circ\) и \(b = 45^\circ\): \[ \cos 135^\circ = \cos(90^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ \cos 45^\circ - \sin 90^\circ \sin 45^\circ \]

Значения тригонометрических функций:

• \(\cos 90^\circ = 0\)
• \(\sin 90^\circ = 1\)
• \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем: \[ \cos 135^\circ = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Вычисление косинуса \(\frac{5\pi}{4}\)

Теперь вычислим \(\cos\frac{5\pi}{4}\). Заметим, что \(\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}\).

Используем формулу сложения: \[ \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \pi \cos \frac{\pi}{4} - \sin \pi \sin \frac{\pi}{4} \]

Значения тригонометрических функций:

• \(\cos \pi = -1\)
• \(\sin \pi = 0\)
• \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставляем: \[ \cos\frac{5\pi}{4} = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Вычисление синуса 150 градусов

Синус 150 градусов можно выразить как: \[ \sin 150^\circ = \sin(90^\circ + 60^\circ) \]

По формуле сложения: \[ \sin(90^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ \cos 60^\circ + \cos 90^\circ \sin 60^\circ \]

Значения тригонометрических функций:

• \(\sin 90^\circ = 1\)
• \(\cos 90^\circ = 0\)
• \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
• \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставляем: \[ \sin 150^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \]

4. Вычисление синуса \(\frac{4\pi}{3}\)

\(\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}\), используем: \[ \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3}. \]

Значения: \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), так что: \[ \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

5. Вычисление \(\cos 72^\circ \cos 18^\circ - \sin 72^\circ \sin 18^\circ\)

Используем формулу косинуса разности: \[ \cos(72^\circ + 18^\circ) = \cos 90^\circ = 0. \] Следовательно, результат: \[ \cos 72^\circ \cos 18^\circ - \sin 72^\circ \sin 18^\circ = 0. \]

6. Вычисление \(\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)\)

Обратите внимание, что \(\frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}\) и \(\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}\).

Согласно формуле сложения для косинуса: \[ \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right), \quad \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \] А для \(\frac{7\pi}{3}\): \[ \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Подставляем в формулу: \[ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. \]

Итоги

1. \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
2. \(\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
3. \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\)
4. \(\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
5. \(\cos 72^\circ \cos 18^\circ - \sin 72^\circ \sin 18^\circ = 0\)
6. \(\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)