Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Начальная температура чая (Т_чай) = 100 °C
- Начальная температура воды (Т_вода) = 15 °C
- Температура после установления равновесия (Т_равн) = 75 °C
- Удельные теплоемкости чая и воды (c) = 4200 Дж/(кг·°C)
1. Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой.
Сначала запишем, что количество теплоты (Q) можно найти по формуле:
[ Q = mc(T_конечная - T_начальная) ]
где m — масса, c — удельная теплоёмкость, T — температура.
Количество теплоты отданное чаем:
[ Q_{чай} = m_{чай} \cdot c \cdot (T_{чай} - T_{равн}) ]
где:
- ( T_{чай} = 100 °C )
- ( T_{равн} = 75 °C )
Таким образом:
[ Q_{чай} = m_{чай} \cdot 4200 \cdot (100 - 75) = m_{чай} \cdot 4200 \cdot 25 ]
Количество теплоты, полученное водой:
[ Q_{вода} = m_{вода} \cdot c \cdot (T_{равн} - T_{вода}) ]
где:
- ( T_{вода} = 15 °C )
- ( T_{равн} = 75 °C )
Таким образом:
[ Q_{вода} = m_{вода} \cdot 4200 \cdot (75 - 15) = m_{вода} \cdot 4200 \cdot 60 ]
Теперь найдем отношение количества теплоты:
[
\frac{Q_{чай}}{Q_{вода}} = \frac{m_{чай} \cdot 4200 \cdot 25}{m_{вода} \cdot 4200 \cdot 60} = \frac{m_{чай} \cdot 25}{m_{вода} \cdot 60} = \frac{m_{чай}}{m_{вода}} \cdot \frac{25}{60}
]
2. Найдите отношение массы чая к массе воды.
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученному водой:
[ Q_{чай} = Q_{вода} ]
Теперь мы можем записать уравнение:
[ m_{чай} \cdot 4200 \cdot 25 = m_{вода} \cdot 4200 \cdot 60 ]
Убираем 4200 и получаем:
[ m_{чай} \cdot 25 = m_{вода} \cdot 60 ]
Следовательно, находим отношение:
[
\frac{m_{чай}}{m_{вода}} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}
]
3. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия?
Теперь Маша добавила еще одну такую же порцию холодной воды. Мы знаем, что новая температура будет равна ( T_новая ).
После добавления второй порции воды, ее температура будет также 15 °C, и система снова достигнет нового теплового равновесия.
С учетом предыдущих данных и того, что массы всех компонентов одинаковы, можно записать:
[ m_{чай} \cdot c \cdot (T_{чай} - T_{новая}) + m_{вода1} \cdot c \cdot (T_{вода1} - T_{новая}) + m_{вода2} \cdot c \cdot (T_{вода2} - T_{новая}) = 0 ]
Подставляем массы и температуры:
- ( m_{чай} = \frac{12}{5} \cdot m_{вода} )
- Для воды: две порции воды, ( 2 \cdot m_{вода} )
- Начальная температура чая — 75 °C.
Итак, запись будет:
[
\frac{12}{5} m_{вода} \cdot 4200 \cdot (75 - T_{новая}) + 2 m_{вода} \cdot 4200 \cdot (15 - T_{новая}) = 0
]
Убираем 4200 и решаем:
[
\frac{12}{5} m_{вода} (75 - T_{новая}) + 2 m_{вода} (15 - T_{новая}) = 0
]
Делим на ( m_{вода} ) (при ( m_{вода} \neq 0 )):
[
\frac{12}{5} (75 - T_{новая}) + 2 (15 - T_{новая}) = 0
]
Умножим уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
[
12(75 - T_{новая}) + 10(15 - T_{новая}) = 0
]
[
900 - 12 T_{новая} + 150 - 10 T_{новая} = 0
]
[
1050 = 22 T_{новая}
]
[
T_{новая} = \frac{1050}{22} \approx 47.73 \rightarrow 48
]
Таким образом, после установления нового теплового равновесия, температура чая станет 48 °C.
