Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 9 и 15.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, когда известны длины его катета и гипотенузы, нужно выполнить несколько шагов. Давайте решим эту задачу:

Шаг 1: Определим, что такое прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90 градусам. У него есть два катета (длиной \(a\) и \(b\)) и гипотенуза (длина \(c\)), которая является стороной, напротив прямого угла.

Шаг 2: Запишем формулу для площади.
Площадь \(S\) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \(a\) и \(b\) — длины катетов.

Шаг 3: Определим катеты.
Из условия задачи нам известны длины только одного катета (9) и гипотенузы (15). Чтобы найти второй катет, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \(c\) — гипотенуза, \(a\) и \(b\) — катеты.

Подставим известные значения: \[ 15^2 = 9^2 + b^2 \] Это можно переписать как: \[ 225 = 81 + b^2 \] Теперь решим это уравнение для \(b^2\): \[ b^2 = 225 - 81 \] \[ b^2 = 144 \] Теперь извлечем корень из \(b^2\): \[ b = \sqrt{144} = 12 \] Таким образом, длины катетов составляют 9 и 12.

Шаг 4: Вычислим площадь.
Теперь, когда мы знаем оба катета, можем подставить их значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \] Вычислим: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 \]

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 54 квадратных единицы.