Чтобы понять, на сколько увеличится длина окружности при увеличении радиуса, давайте сначала вспомним, как вычисляется длина окружности.
Длина окружности (L) рассчитывается по формуле:
[ L = 2 \pi r ]
где:
- ( L ) — длина окружности,
- ( r ) — радиус окружности,
- ( \pi ) — математическая константа, approximately равная 3.14.
Теперь, если мы увеличиваем радиус на 2 см, новый радиус будет:
[ r_{\text{new}} = r + 2 ]
Давайте подставим это в формулу длины окружности:
[ L_{\text{new}} = 2 \pi (r + 2) = 2 \pi r + 2 \pi \cdot 2 = 2 \pi r + 4 \pi ]
Теперь нам нужно найти, на сколько увеличилась длина окружности. Для этого мы вычтем старую длину окружности из новой длины окружности:
[ \Delta L = L_{\text{new}} - L = (2 \pi r + 4 \pi) - 2 \pi r ]
Упрощая это выражение, мы получаем:
[ \Delta L = 4 \pi ]
Таким образом, длина окружности увеличится на ( 4 \pi ) см. Подставив значение ( \pi \approx 3.14 ), можем получить численное значение:
[ \Delta L \approx 4 \cdot 3.14 \approx 12.56 , \text{см} ]
Ответ: Длина окружности увеличится на ( 4 \pi ) см (примерно 12.56 см).
