Найди первый член арифметической прогрессии, если d = -23, а сумма первых семнадцати членов прогрессии равна 238.

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии (АП), когда нам известна разность \( d \) и сумма первых \( n \) членов, можно воспользоваться формулами арифметической прогрессии.

Дано:

• \( d = -23 \) (разность прогрессии)
• \( S_n = 238 \) (сумма первых \( n \) членов, где \( n = 17 \))

Формулы, которые нам пригодятся:

1. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)d) \] где \( a \) — первый член прогрессии, \( n \) — количество членов, \( d \) — разность.

2. Перепишем формулу, подставив известные значения: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (2a + (17 - 1)(-23)) \] Упрощаем: \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (2a + 16 \cdot (-23)) \] \[ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (2a - 368) \] Теперь, подставим известное значение суммы: \[ 238 = \frac{17}{2} \cdot (2a - 368) \]

3. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 476 = 17 \cdot (2a - 368) \]

4. Разделим обе стороны на 17: \[ \frac{476}{17} = 2a - 368 \] Вычислим \( \frac{476}{17} \): \[ 28 = 2a - 368 \]

5. Теперь переберем, чтобы выразить \( a \): \[ 2a = 28 + 368 \] \[ 2a = 396 \] \[ a = \frac{396}{2} \] \[ a = 198 \]

Ответ: Первый член арифметической прогрессии \( a = 198 \).