Найдите объём шара, если площадь его поверхности равна 36 см²
Чтобы найти объём шара, когда дана площадь его поверхности, нужно сначала вспомнить формулы, которые описывают эти объекты.
Формула площади поверхности шара: Площадь поверхности шара \( S \) рассчитывается по формуле: \[ S = 4 \pi r^2 \] где \( r \) — радиус шара, а \( \pi \) — постоянная, примерно равная 3.14.
Формула объёма шара: Объём шара \( V \) можно найти по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Теперь, учитывая, что площадь поверхности шара равна 36 см², мы можем использовать эту информацию, чтобы найти радиус \( r \).
Шаг 1: Найдите радиус шара.
Сначала подставим данное значение площади в формулу и выразим радиус: \[ 36 = 4 \pi r^2 \]
Теперь решим это уравнение для радиуса \( r \):
Разделите обе стороны на \( 4 \pi \): \[ r^2 = \frac{36}{4 \pi} \] \[ r^2 = \frac{9}{\pi} \]
Теперь найдите радиус \( r \), взяв корень из обеих сторон: \[ r = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]
Шаг 2: Найдите объём шара.
Теперь, когда мы нашли радиус, подставим его в формулу для объёма шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Подставим \( r = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \): \[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3 \]
Рассчитаем \( r^3 \): \[ r^3 = \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3 = \frac{27}{\pi^{3/2}} \]
Теперь подставим это значение в формулу для объёма: \[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{27}{\pi^{3/2}} \] \[ V = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{108}{3\sqrt{\pi}} = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \]
Ответ
Таким образом, объём шара составляет: \[ V = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \text{ см}^3 \]
Можно оставить ответ в таком виде или, если необходимо, приблизительно вычислить его значение, подставив \( \pi \approx 3.14 \): \[ V \approx \frac{36}{\sqrt{3.14}} \approx \frac{36}{1.77} \approx 20.3 \text{ см}^3 \]
Итак, объём шара приблизительно равен \( 20.3 \text{ см}^3 \).
