У=3х²-х³

Решим задачу, данную в виде уравнения \( U = 3x^2 - x^3 \).

Шаг 1: Понимание функции

Мы имеем выражение, которое является многочленом:

\[ U(x) = 3x^2 - x^3 \]

Это функция, зависящая от переменной \( x \).

Шаг 2: Определение типа функции

Данная функция является полиномиальной. Полином — это математическое выражение, составленное из одночленов, когда один из множителей — это переменная, а другой — коэффициент.

Шаг 3: Важные характеристики

Чтобы понять поведение этой функции, полезно изучить следующие характеристики:

1. Нули функции (где \( U = 0 \))
2. Производная (как меняется функция)
3. График функции

Шаг 4: Нули функции

Чтобы найти нули функции \( U(x) = 0 \), мы приравняем выражение к нулю:

\[ 3x^2 - x^3 = 0 \]

Факторизуем:

\[ x^2(3 - x) = 0 \]

Это уравнение будет равно нулю, если любой из множителей будет равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1. \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( 3 - x = 0 \) → \( x = 3 \)

Таким образом, нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Шаг 5: Производная функции

Для нахождения производной функции используем правила дифференцирования:

\[ U'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x^3) = 6x - 3x^2 \]

Теперь можно упростить производную:

\[ U'(x) = 3x(2 - x) \]

Шаг 6: Нули производной

Чтобы найти критические точки (где функция может иметь максимумы или минимумы), найдем, где производная равна нулю:

\[ 3x(2 - x) = 0 \]

Это даёт:

1. \( 3x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( 2 - x = 0 \) → \( x = 2 \)

Шаг 7: Знаки производной

Теперь определим, как меняется функция на интервалах: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) и \( (2, \infty) \):

• Для \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( U'(-1) = 3(-1)(2 - (-1)) = -9 \) (убывает)

• Для \( 0 < x < 2 \), например \( x = 1 \): \( U'(1) = 3(1)(2 - 1) = 3 \) (возрастает)

• Для \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( U'(3) = 3(3)(2 - 3) = -9 \) (убывает)

Шаг 8: Поведение на концах и график

На основании анализа производной можно сделать вывод:

• Функция возрастает на интервале \( (0, 2) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, \infty) \).
• В точке \( x = 2 \) функция достигает максимума.

Итог

Функция \( U = 3x^2 - x^3 \) имеет следующие характеристики:

• Нули: \( x = 0 \) и \( x = 3 \)
• Максимум в точке \( x = 2 \)

Это помогает понять поведение данной функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!