У=3х²-х³

Решим задачу, данную в виде уравнения \( U = 3x^2 - x^3 \). ### Шаг 1: Понимание функции Мы имеем выражение, которое является многочленом: \[ U(x) = 3x^2 - x^3 \] Это функция, зависящая от переменной \( x \). ### Шаг 2: Определение типа функции Данная функция является полиномиальной. Полином — это математическое выражение, составленное из одночленов, когда один из множителей — это переменная, а другой — коэффициент. ### Шаг 3: Важные характеристики Чтобы понять поведение этой функции, полезно изучить следующие характеристики: 1. **Нули функции** (где \( U = 0 \)) 2. **Производная** (как меняется функция) 3. **График функции** ### Шаг 4: Нули функции Чтобы найти нули функции \( U(x) = 0 \), мы приравняем выражение к нулю: \[ 3x^2 - x^3 = 0 \] Факторизуем: \[ x^2(3 - x) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если любой из множителей будет равен нулю. Поэтому мы имеем два случая: 1. \( x^2 = 0 \) → \( x = 0 \) 2. \( 3 - x = 0 \) → \( x = 3 \) Таким образом, нули функции: **\( x = 0 \) и \( x = 3 \)**. ### Шаг 5: Производная функции Для нахождения производной функции используем правила дифференцирования: \[ U'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x^3) = 6x - 3x^2 \] Теперь можно упростить производную: \[ U'(x) = 3x(2 - x) \] ### Шаг 6: Нули производной Чтобы найти критические точки (где функция может иметь максимумы или минимумы), найдем, где производная равна нулю: \[ 3x(2 - x) = 0 \] Это даёт: 1. \( 3x = 0 \) → \( x = 0 \) 2. \( 2 - x = 0 \) → \( x = 2 \) ### Шаг 7: Знаки производной Теперь определим, как меняется функция на интервалах: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \) и \( (2, \infty) \): - Для \( x < 0 \), например \( x = -1 \): \( U'(-1) = 3(-1)(2 - (-1)) = -9 \) (убывает) - Для \( 0 < x < 2 \), например \( x = 1 \): \( U'(1) = 3(1)(2 - 1) = 3 \) (возрастает) - Для \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( U'(3) = 3(3)(2 - 3) = -9 \) (убывает) ### Шаг 8: Поведение на концах и график На основании анализа производной можно сделать вывод: - Функция возрастает на интервале \( (0, 2) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, \infty) \). - В точке \( x = 2 \) функция достигает максимума. ### Итог Функция \( U = 3x^2 - x^3 \) имеет следующие характеристики: - Нули: \( x = 0 \) и \( x = 3 \) - Максимум в точке \( x = 2 \) Это помогает понять поведение данной функции. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более глубокое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!