Дано: A(13:-2), B(-3:-6), C(4:0) Найти: а) координаты вектора AC б) длину вектора BC в) координаты середины отрезка AB г) периметр треугольника ABC д) длину медианы CM
Давайте разберем каждую из частей задачи по порядку. У нас есть точки A(13, -2), B(-3, -6), C(4, 0).
а) Найти координаты вектора AC
Вектор AC можно найти, используя формулу:
\[ \vec{AC} = C - A \]
где \(C(4, 0)\) и \(A(13, -2)\).
Подставим координаты:
\[ \vec{AC} = (4 - 13, 0 - (-2)) = (-9, 2) \]
Таким образом, координаты вектора AC: \((-9, 2)\).
б) Найти длину вектора BC
Длина вектора BC вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:
\[ BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2} \]
где \(B(-3, -6)\) и \(C(4, 0)\).
Подставим координаты:
\[ BC = \sqrt{((-3) - 4)^2 + ((-6) - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \]
Таким образом, длина вектора BC: \(\sqrt{85}\).
в) Найти координаты середины отрезка AB
Координаты середины отрезка AB рассчитываются по формуле:
\[ M_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
где \(A(13, -2)\) и \(B(-3, -6)\).
Подставим координаты:
\[ M_{AB} = \left(\frac{13 + (-3)}{2}, \frac{-2 + (-6)}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{-8}{2}\right) = (5, -4) \]
Таким образом, координаты середины отрезка AB: \(M_{AB}(5, -4)\).
г) Найти периметр треугольника ABC
Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон. Нам нужно найти длины ребер AB и AC.
- Найдем длину AB:
\[ AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{(13 - (-3))^2 + (-2 - (-6))^2} \] \[ AB = \sqrt{(13 + 3)^2 + (-2 + 6)^2} = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17} \]
- Мы уже нашли \(BC = \sqrt{85}\) и \(AC = \sqrt{(-9)^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}\).
Теперь найдем периметр: \[ P = AB + BC + AC = 4\sqrt{17} + \sqrt{85} + \sqrt{85} = 4\sqrt{17} + 2\sqrt{85} \]
д) Найти длину медианы CM
Длина медианы CM можно вычислить по формуле:
\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]
У нас уже есть значения:
- \(AB = 4\sqrt{17}\)
- \(AC = \sqrt{85}\)
- \(BC = \sqrt{85}\)
Теперь подставим в формулу:
\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2(4\sqrt{17})^2 + 2(\sqrt{85})^2 - (\sqrt{85})^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{2(16 \cdot 17) + 2(85) - 85} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{544 + 170 - 85} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{629} \]
Таким образом, длина медианы CM равна \(\frac{1}{2} \sqrt{629}\).
Итоговые результаты:
- Координаты вектора AC: \((-9, 2)\)
- Длина вектора BC: \(\sqrt{85}\)
- Координаты середины отрезка AB: \(M_{AB}(5, -4)\)
- Периметр треугольника ABC: \(4\sqrt{17} + 2\sqrt{85}\)
- Длина медианы CM: \(\frac{1}{2} \sqrt{629}\)
