За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик
Для решения задачи о размещении 199 мальчиков и 2 девочек за круглым столом начнем с понятия вероятности и используем комбинаторный подход.
Шаг 1: Определение общего числа способов рассадить мальчиков и девочек
- Общее количество мест: 201 (за круглым столом).
- Общее количество вариантов размещения: Чтобы рассадить 199 мальчиков и 2 девочек за круглый стол, приведем всё к линейному размещению (выберем одного мальчика за начальную точку для счёта). Это даст нам 200! способов расстановки оставшихся 200 человек.
Шаг 2: Условия игры
Посчитаем случаи, когда между двумя девочками сидит ровно один мальчик. Назовем девочек G1 и G2, а мальчиков - M1, M2, ..., M199.
Шаг 3: Применение условий
Пустые места: Мы представим девочек G1 и G2 с одним мальчиком между ними. Это может выглядеть так:
- G1, M, G2 (где M - мальчик).
Группировка: Теперь мы можем рассматривать пару G1, M и G2 как одну "группу" или блок. Мы имеем 199 - 1 = 198 мальчиков, которые не входят в эту группировку.
Итоговая группировка: Теперь у нас есть 198 мальчиков + 1 блок (G1 – M – G2), что дает 199 "элементов" для расстановки.
Шаг 4: Подсчет количества способов размещения
- Число способов разместить 199 элементов (198 мальчиков и 1 блок): \(198!\)
- Способы выбора мальчика (M): из 199 мальчиков можно выбрать любого, то есть 199 способов.
- Способы размещения девочек в блоке: 2! (две девочки могут поменяться местами).
Итого: \[ \text{Число благоприятных способов} = 198! \cdot 199 \cdot 2! \]
Шаг 5: Вероятность
Теперь вычислим вероятность. Для этого разделим количество благоприятных исходов на общее число размещений.
\[ P(\text{между девочками один мальчик}) = \frac{198! \cdot 199 \cdot 2!}{200!} \]
Поскольку \(200! = 200 \cdot 199 \cdot 198!\), мы можем упростить выражение:
\[ P = \frac{198! \cdot 199 \cdot 2!}{200 \cdot 199 \cdot 198!} = \frac{2!}{200} = \frac{2}{200} = \frac{1}{100} \]
Ответ
Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна \(\frac{1}{100}\).
