Чтобы решить неравенства с абсолютными значениями, давайте вспомним основные правила:
Для неравенства вида (|x - a| > b) (где (b > 0)) решение будет:
(x - a > b) или (x - a < -b)
Мы получаем два неравенства, которые нужно решать.
Для неравенства вида (|x - a| < b) (где (b > 0)) решение будет:
(-b < x - a < b)
Это также приводит к двух неравенствам.
Для неравенства вида (|x - a| \geq b) и (|x - a| \leq b) работает аналогично, где знак неравенства включает в себя равенство.
Теперь решим каждое неравенство по очереди:
1) (|x - 7| > 0)
Это неравенство означает, что (x) не равно 7.
Решение: (x \in (-\infty, 7) \cup (7, +\infty))
На координатной прямой это будет всё, кроме точки 7.
2) (|x - 4| < 3)
Мы можем разложить это неравенство на два:
[
-3 < x - 4 < 3
]
Теперь добавим 4 ко всем частям:
[
1 < x < 7
]
Решение: (x \in (1, 7))
На координатной прямой обозначаем интервал от 1 до 7.
3) (|2 + x| < 3)
Разложим на два неравенства:
[
-3 < 2 + x < 3
]
Теперь вычтем 2 из всех частей:
[
-5 < x < 1
]
Решение: (x \in (-5, 1))
На координатной прямой помечаем интервал от -5 до 1.
4) (|x + 3| > 2)
Разложим на два неравенства:
[
x + 3 > 2 \quad \text{или} \quad x + 3 < -2
]
Решим каждое:
- (x > -1)
- (x < -5)
Таким образом, решение:
[
x \in (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty)
]
На координатной прямой обозначаем оба интервала.
5) (|x - 4| \geq 3)
Разложим на два неравенства:
[
x - 4 \geq 3 \quad \text{или} \quad x - 4 \leq -3
]
Решим каждое:
- (x \geq 7)
- (x \leq 1)
Решение:
[
x \in (-\infty, 1] \cup [7, +\infty)
]
На координатной прямой помечаем оба интервала.
6) (x + 25)
Поскольку здесь отсутствует знак неравенства или условий, это скорее всего обозначает неравенство (x + 25 > 0):
Решим его:
[
x > -25
]
Решение: (x \in (-25, +\infty))
На координатной прямой это будет всё, что больше -25.
Итоги на координатной прямой:
- все, кроме 7: ((- \infty, 7) \cup (7, +\infty))
- (1, 7)
- (-5, 1)
- (-∞, -5) ∪ (-1, +∞)
- (-∞, 1] ∪ [7, +∞)
- (-25, +∞)
Каждое неравенство представлено своими интервалами на координатной прямой.
