Найдите площадь S правильного n-угольника,если: n=8,r=5 корней из 3 см

Чтобы найти площадь \( S \) правильного \( n \)-угольника, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{n \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2} \]

где:

• \( n \) — количество сторон (углов) n-угольника,
• \( r \) — радиус описанной вокруг многоугольника окружности.

В данной задаче:

• \( n = 8 \) (это правильный восьмиугольник),
• \( r = 5 \sqrt{3} \) см.

Теперь подставим данные в формулу.

1. Вычисление значения \( \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) \):

   \[ \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \]

   Мы знаем, что \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

2. Теперь подставим все значения в формулу для площади:

   \[ S = \frac{8 \cdot (5 \sqrt{3})^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} \]

3. Посчитаем \( (5 \sqrt{3})^2 \):

   \[ (5 \sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \]

4. Теперь подставим это значение в формулу:

   \[ S = \frac{8 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \]

5. Упростим:

   \[ = \frac{600 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{600 \sqrt{2}}{4} = 150 \sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Итак, площадь \( S \) правильного восьмиугольника с радиусом \( 5\sqrt{3} \) см составляет:

\[ S = 150 \sqrt{2} \text{ см}^2 \]