Найдите площадь S правильного n-угольника,если: n=8,r=5 корней из 3 см

Чтобы найти площадь \( S \) правильного \( n \)-угольника, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{n \cdot r^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2} \] где: - \( n \) — количество сторон (углов) n-угольника, - \( r \) — радиус описанной вокруг многоугольника окружности. В данной задаче: - \( n = 8 \) (это правильный восьмиугольник), - \( r = 5 \sqrt{3} \) см. Теперь подставим данные в формулу. 1. **Вычисление значения \( \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) \)**: \[ \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \] Мы знаем, что \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 2. **Теперь подставим все значения в формулу для площади**: \[ S = \frac{8 \cdot (5 \sqrt{3})^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} \] 3. **Посчитаем \( (5 \sqrt{3})^2 \)**: \[ (5 \sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \] 4. **Теперь подставим это значение в формулу**: \[ S = \frac{8 \cdot 75 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \] 5. **Упростим**: \[ = \frac{600 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{600 \sqrt{2}}{4} = 150 \sqrt{2} \text{ см}^2 \] Итак, площадь \( S \) правильного восьмиугольника с радиусом \( 5\sqrt{3} \) см составляет: \[ S = 150 \sqrt{2} \text{ см}^2 \]