Пример 3. На числовой прямой даны отрезки B = [2; 12]и С =[7;18]Каким должен быть отрезок А, чтобы предикат(x є A) v ((x є B) -> (x є C)) становился истинным высказыванием при…
Пример 3. На числовой прямой даны отрезки B = [2; 12]и С =[7;18]Каким должен быть отрезок А, чтобы предикат(x є A) v ((x є B) -> (x є C)) становился истинным высказыванием при любых значениях х. Преобразуем исходное выражение, избавившись от импликации: (xєA) v ((xєB) -> (x є C))= (x єA) v ((overline xєB)v(x є C))= (x є A) v( overline x є B ) v(x є C). А, ВИС - множества. Для них можем записать: A cup overline B cup C = U . Известно, что A cup overline A = U . Будем считать, что overline A = overline B cup C. Тогда A = overline overline B cup C =B cap overline C , причём это минимально возможное множество А. Множество B это отрезок [2; 12]. Множество С это промежутки 1-∞; 7[ и 118; +[ Изобразим это графически: 2 7 12 18 Пересечением этих множеств будет служить промежуток [2; 7[. В качестве ответа мы можем взять этот промежуток, а также любой другой, его включающий. Решить: 7. Элементами множеств А, Ри Q являются натуральные чис- ла, причём Р{2, 4, 6, 8, 10, 12) и Q (2, 6, 12, 18, 24). Известно, что выражение (x∈Q)→((χεΑ)→(χεP)) истинно при любом значении переменной х. Определите на именьшее возможное количество элементов множества А. *8. На числовой прямой даны два отрезка: М [10; 60] и № - [40; 80]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что выражение (xe M) (((x∈N) & (x ∈ A)) → →(хе М)) истинно при любом значении переменной х. 9. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятич ного числа А формула х & 250 (x & 170x & A = 0) тождественно истинна, т. е. принимает значение 1 при лю бом неотрицательном целом значении десятичной перемен ной х? (Здесь & поразрядная конъюнкция двух неотрица тельных целых десятичных чисел.)
Чтобы решить поставленные задачи, мы будем прорабатывать каждую из них внимательно и шаг за шагом. Обращайте внимание на логику решений и проработку условий.
Задача 7: Элементами множеств \( A \), \( P \) и \( Q \) являются натуральные числа. Дано \( P = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \) и \( Q = \{2, 6, 12, 18, 24\} \).
Известно, что выражение \( (x \in Q) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in P)) \) истинно при любом значении переменной \( x \).
Мы знаем, что импликация \( A \rightarrow B \) является истинной, если:
- \( A \) истинно и \( B \) истинно,
- \( A \) ложно,
- или \( B \) истинно.
Глядя на наше выражение, нам важно, чтобы для каждого \( x \in Q \):
- Если \( x \) принадлежит \( A \), значит \( x \) обязательно также принадлежит \( P \).
Рассмотрим элементы \( Q \):
- \( 2 \in P \)
- \( 6 \in P \)
- \( 12 \in P \)
- \( 18 \notin P \)
- \( 24 \notin P \)
Это означает, что для значений \( x = 18 \) и \( 24 \) (которые не входят в \( P \)), их членство в \( A \) не повлияет на истинность импликации. Но для \( x = 2, 6, 12 \), если они должны входить в \( A \), то они должны входить и в \( P \).
Поэтому минимально возможное множество \( A \) может включать только числа, которые уже есть в \( P \). Наименьшее количество элементов множества \( A \), которое можно взять, это пустое множество.
Таким образом, ответ:
\( |A| = 0 \) (пустое множество).
Задача 8: На числовой прямой даны два отрезка: \( M = [10; 60] \) и \( N = [40; 80] \). Мы хотим определить наименьшую возможную длину отрезка \( A \), такое что выражение \( (x \in M) \rightarrow ((x \in N) \land (x \in A)) \rightarrow (x \in M) \) истинно при любом значении переменной \( x \).
Рассмотрим импликацию более внимательно. Данное выражение будет истинным, если \( x \) из \( M \) не может принадлежать \( N \) без того, чтобы принадлежать \( A \).
Обозначим границы:
- Начало отрезка \( M \) это 10, завершение 60.
- Начало отрезка \( N \) это 40, завершение 80.
Отрезки пересекаются с 40 по 60: \( M \cap N = [40; 60] \).
Поскольку \( M \) начинается с 10 и заканчивается на 60, все числа в \( M \) до 40 должны соответствовать числам в \( A \) (чтобы выполнить условия импликации). Минимальная длина отрезка \( A \) должна начинаться с 10 и свободно проходить до 40, т.е. должно быть включено \( [10; 40) \).
Таким образом, длина отрезка \( A \) составляет:
Длина \( A = 40 - 10 = 30 \).
Задача 9: Нам нужно определить наименьшее неотрицательное целое десятичное число \( A \), такое что формула \( x \& 250 (x \& 170) \& A = 0 \) тождественно истинна.
Разберем, что означает это равенство. Поскольку мы работаем с поразрядной конъюнкцией, \( x \& 250 \) и \( x \& 170 \) должны находиться в определенных масках, чтобы результат равен нулю.
Число 250 в двоичном представлении:
250 = 11111010
Это указывает, что битовые позиции 1, 2, 3, 4 и 6 (от 0) → 1.
Число 170 в двоичном представлении:
170 = 10101010
Это указывает, что битовые позиции 1, 3, 5 и 7 → 1.
Таким образом, \( A \) должно иметь 0 в тех битах, где \( 250 \) и \( 170 \) имеют 1 в их позициях (в соответствии с правилами поразрядной конъюнкции). Это приводит нас к выбору:
Для нуля в поразрядной конъюнкции всех значений необходимо, чтобы \( A \) имело:
- Биты на позициях 1, 3, 4, 5 оставили 0.
- Биты на позициях 2, 6, 7 оставили 1.
Наименьшее \( A \) — это будет число, в котором все такие указанные биты в позициях 1, 3, 4, 5 равны 0, а на позициях 2 и 6 равны единице.
Таким образом, оно будет равно:
A = 010 = 2 (в десятичной системе)
Поэтому:
\( A = 2 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по решению, не стесняйтесь писать!
