В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 2,боковое ребро равно 5.Найдите: а)синус угла между большей диагональю призмы и плоскостью ее основания; б)площадь боковой поверхности призмы.

Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберем каждый пункт. ### Дано: - Правильная шестиугольная призма. - Длина стороны основания \( a = 2 \). - Боковое ребро (высота) \( h = 5 \). ### a) Находим синус угла между большей диагональю призмы и плоскостью ее основания 1. **Находим координаты вершин основания**: В правильной шестиугольной призме основания представляют собой правильный шестиугольник. Если поместим его в координатной плоскости, то его вершины могут быть заданы следующими координатами: \[ A(2, 0, 0), B(1, \sqrt{3}, 0), C(-1, \sqrt{3}, 0), D(-2, 0, 0), E(-1, -\sqrt{3}, 0), F(1, -\sqrt{3}, 0) \] 2. **Находим верхние вершины призмы**, которые будут по высоте: \[ A'(2, 0, 5), B'(1, \sqrt{3}, 5), C'(-1, \sqrt{3}, 5), D'(-2, 0, 5), E'(-1, -\sqrt{3}, 5), F'(1, -\sqrt{3}, 5) \] 3. **Находим векторы** большей диагонали. Большая диагональ соединяет точки \( A' \) и \( D \). - Вектор \( \overrightarrow{A'D} = D - A' = (-2, 0, 0) - (2, 0, 5) = (-4, 0, -5) \). 4. **Находим вектор нормали к плоскости основания**: Плоскость основания шестиугольника находится на уровне \( z = 0 \), поэтому нормальный вектор будет \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \). 5. **Находим угол между вектором диагонали и плоскостью основания**: Синус угла \( \alpha \) между вектором и плоскостью находим через отношение длины проекции вектора на нормаль к его длине: \[ \sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{A'D} \cdot \overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{A'D}\| \cdot \|\overrightarrow{n}\|} \] 6. **Находим длину вектора \( \overrightarrow{A'D} \)**: \[ \|\overrightarrow{A'D}\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \] 7. **Находим \( \overrightarrow{A'D} \cdot \overrightarrow{n} \)**: \[ \overrightarrow{A'D} \cdot \overrightarrow{n} = (-4, 0, -5) \cdot (0, 0, 1) = -5 \] 8. **Находим синус угла**: \[ \sin \alpha = \frac{|-5|}{\sqrt{41} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{41}} \] Таким образом, синус угла между большей диагональю призмы и плоскостью ее основания равен: \[ \sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}} \] ### б) Находим площадь боковой поверхности призмы 1. **Площадь одной боковой грани**: Каждая боковая грань — это прямоугольник, высота которого равна \( h = 5 \) и ширина равна стороне основания \( a = 2 \). Площадь одной боковой грани: \[ S_{грани} = a \cdot h = 2 \cdot 5 = 10 \] 2. **Общее количество боковых граней**: У правильной шестиугольной призмы 6 боковых граней. 3. **Общая площадь боковой поверхности**: \[ S_{боковая} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 10 = 60 \] Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна: \[ S_{боковая} = 60 \] ### Ответ: a) \(\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{41}}\) b) Площадь боковой поверхности призмы равна \(60\).