В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 11 , 7 MK+NK=11,7 мм?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрией.

В нашем тр triangle \( \triangle MNK \) у нас есть следующие углы:

• \( \angle N = 90^\circ \)
• \( \angle K = 60^\circ \)

Поскольку сумма углов в треугольнике составляет \( 180^\circ \), мы можем найти угол \( \angle M \):

\[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]

Теперь у нас есть все углы: \( \angle M = 30^\circ \), \( \angle K = 60^\circ \), и \( \angle N = 90^\circ \).

Использование свойств треугольника

В прямоугольном треугольнике с углами \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), и \( 90^\circ \), стороны треугольника имеют следующее отношение:

• Против угла \( 30^\circ \) (сторона NK) – половина гипотенузы (MK).
• Против угла \( 60^\circ \) (сторона MN) – \(\sqrt{3}/2\) от гипотенузы (MK).

Обозначим гипотенузу \( MK = c \), катет \( NK = a \), и катет \( MN = b \).

Согласно свойствам треугольника, мы имеем:

\[ NK = \frac{c}{2} \quad \text{(против угла 30°)} \] \[ MN = \frac{\sqrt{3}}{2}c \quad \text{(против угла 60°)} \]

Сумма катетов

Согласно условию задачи, мы знаем, что сумма катетов \( MK + NK = 11,7 \) мм. Однако, это, вероятно, ошибка, поскольку эта сумма не должна включать гипотенузу. Вероятно, имелась в виду сумма катетов: \( MN + NK = 11,7 \).

Запишем это уравнение:

\[ MN + NK = 11,7 \]

Подставим значения из выражений для \( MN \) и \( NK \):

\[ \frac{\sqrt{3}}{2}c + \frac{c}{2} = 11,7 \]

Теперь объединим подобные множители:

\[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right)c = 11,7 \]

Объединим дроби:

\[ \frac{\sqrt{3} + 1}{2}c = 11,7 \]

Теперь выразим \( c \):

\[ c = \frac{11,7 \cdot 2}{\sqrt{3} + 1} \]

Вычисление

Чтобы вычислить \( c \), сначала находим числитель:

\[ c = \frac{23,4}{\sqrt{3} + 1} \]

Теперь подставляем значение \( \sqrt{3} \approx 1,732 \):

\[ c \approx \frac{23,4}{1,732 + 1} = \frac{23,4}{2,732} \approx 8,59 \text{ мм} \]

Таким образом, численное значение гипотенузы \( MK \) примерно равно \( 8,59 \) мм.

Итог

Гипотенуза прямоугольного треугольника \( MKN \) равна примерно 8,59 мм.