Основанием прямой призмы является ромб со стороной 8 см и тупым углом 120°. Площадь боковой поверхности призмы 320 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое…

Чтобы решить задачу, начнем с изучения свойств ромба и элементов прямой призмы.

Шаг 1: Площадь основания

Основание призмы — ромб со стороной 8 см и тупым углом 120°. Площадь ромба рассчитывается по формуле:

\[ S = a^2 \cdot \sin(\theta) \]

где \( a \) — длина стороны, а \( \theta \) — угол. В нашем случае:

• \( a = 8 \) см,
• \( \theta = 120° \).

Воспользуемся синусом угла:

\[ \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ S = 8^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Шаг 2: Высота призмы

Далее, чтобы найти высоту призмы, используем площадь боковой поверхности. Формула для площади боковой поверхности призмы:

\[ S_b = P \cdot h, \]

где \( P \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы. Сначала вычислим периметр ромба:

\[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}. \]

Теперь подставим значение площади боковой поверхности \( S_b = 320 \text{ см}^2 \):

\[ 320 = 32 \cdot h. \]

Решим уравнение для \( h \):

\[ h = \frac{320}{32} = 10 \text{ см}. \]

Шаг 3: Определение меньшей диагонали

Используем свойства ромба для нахождения диагоналей. Формулa для диагоналей:

• \( d_1 = a \cdot \sqrt{2 + 2\cos(\theta)} \)
• \( d_2 = a \cdot \sqrt{2 - 2\cos(\theta)} \)

Для \( \theta = 120° \):

\[ \cos(120°) = -\frac{1}{2} \]

Вычисление большей диагонали \( d_1 \):

\[ d_1 = 8 \cdot \sqrt{2 + 2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 8 \cdot \sqrt{2 - 1} = 8 \cdot 1 = 8 \text{ см}. \]

Вычисление меньшей диагонали \( d_2 \):

\[ d_2 = 8 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 8 \cdot \sqrt{2 + 1} = 8 \cdot \sqrt{3}. \]

Шаг 4: Площадь сечения

Теперь найдём площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Сечение будет образовывать треугольник. Основание этого треугольника будет равно меньшей диагонали \( d_2 = 8\sqrt{3} \), а высота будет равна высоте призмы \( h = 10 \) см.

Площадь треугольника:

\[ S_{triangle} = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 10 = 40\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Ответ

Площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна \( 40\sqrt{3} \text{ см}^2 \).