Решим уравнение (3x^2 - bx + 24 = 0), зная, что один из корней этого уравнения равен (-8). Используем формулу Vieta, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями.
Шаг 1: Обозначим корни уравнения
Обозначим корни уравнения как (x_1) и (x_2), где (x_1 = -8) (из условия задачи), а (x_2) — второй корень, который нам нужно найти.
Шаг 2: Используем формулу Vieta
Согласно формуле Vieta, для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) сумма корней (x_1 + x_2) равняется (-\frac{b}{a}), а произведение корней (x_1 \cdot x_2) равно (\frac{c}{a}).
В нашем уравнении (3x^2 - bx + 24 = 0):
- (a = 3)
- (b = -b) (коэффициент при (x))
- (c = 24)
Сумма корней
Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{-b}{3} = \frac{b}{3}
]
Подставляем (x_1 = -8):
[
-8 + x_2 = \frac{b}{3}
]
Отсюда выражаем (x_2):
[
x_2 = \frac{b}{3} + 8
]
Произведение корней
Произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{3} = 8
]
Подставляем (x_1 = -8):
[
-8 \cdot x_2 = 8
]
Разделим обе стороны на (-8):
[
x_2 = -1
]
Шаг 3: Найденный корень
Таким образом, второй корень уравнения равен:
[
\boxed{-1}
]
Шаг 4: Проверка
Проверим, что найденные корни соответствуют произведению:
[
-8 \cdot (-1) = 8,
]
что совпадает с результатом по формуле Vieta.
Теперь мы можем быть уверены, что вторым корнем уравнения (3x^2 - bx + 24 = 0) при условии, что один из корней равен (-8), является (-1).
