Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности…

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, основанием которой является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см, и каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°, нужно сначала найти высоту пирамиды.

1. Находим полупериметр и площадь треугольника основания. Для треугольника со сторонами \(a = 12\) см, \(b = 10\) см и \(c = 10\) см:

   • Полупериметр \(p\) равен: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = 16 \text{ см} \]
   • Площадь \(S\) треугольника можно найти по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{384} = 8\sqrt{6} \text{ см}^2 \]

2. Находим высоту основания треугольника. Обозначим высоту треугольника, проведенную из вершины, противостоящей стороне 12 см, как \(h\). Площадь треугольника также можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \] Сравниваем обе формы площади: \[ 8\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \implies h = \frac{8\sqrt{6}}{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \text{ см} \]

3. Находим высоту пирамиды. Так как каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°, высота боковой грани равна длине наклонного ребра. Эти ребра образуют прямоугольный треугольник, где одна сторона — это высота пирамиды \(H\), а другая — это высота треугольника основания \(h\): \[ H = h \cdot \tan(45^\circ) = h = \frac{4\sqrt{6}}{3} \text{ см} \]

4. Находим площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех треугольников, каждый из которых имеет основание, равное стороне основания \(\text{(10 см или 12 см)}\), и высоту, равную \(H\).

   Площади боковых граней:

   • Для двух боковых граней со сторонами по 10 см: \[ S_1 = S_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \quad \text{(по 2 таких грани)} \]

   • Для одной боковой грани со стороной 12 см: \[ S_3 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{24\sqrt{6}}{3} = 8\sqrt{6} \]

   Суммируем площади боковых граней: \[ S_{боковой} = 2 S_1 + 2 S_2 + S_3 = 2 \cdot \frac{20\sqrt{6}}{3} + 8\sqrt{6} = \frac{40\sqrt{6}}{3} + 8\sqrt{6} = \frac{40+24}{3}\sqrt{6} = \frac{64\sqrt{6}}{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{64\sqrt{6}}{3} \, \text{см}^2\).