Площадь прямоугольного треугольника равна 24√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу
Чтобы найти длину катета, прилежащего к углу 30°, нужно использовать формулы, связанные с площадью треугольника и его свойствами.
Шаг 1: Записать формулу для площади прямоугольного треугольника
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) — длины катетов.
Шаг 2: Определить связи между катетами и углом
В прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \):
- Катет, прилежащий к углу \( 30^\circ \) равен \( a \).
- Противоположный катет (к углу \( 30^\circ \)) будет равен \( \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \).
Таким образом, площадь можно также выразить через длину катета \( a \):
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
Шаг 3: Подставить известные значения
Из условия задачи нам известно, что площадь \( S = 24\sqrt{3} \). Подставляем это значение в формулу:
\[ \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3} \]
Шаг 4: Упростить уравнение
Чтобы избавиться от \( \sqrt{3} \), мы можем умножить обе стороны на 4:
\[ a^2 \cdot \sqrt{3} = 96\sqrt{3} \]
Теперь делим обе стороны на \( \sqrt{3} \):
\[ a^2 = 96 \]
Шаг 5: Найти длину катета \( a \)
Теперь находим \( a \) путем взятия квадратного корня:
\[ a = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \]
Ответ
Длина катета, прилежащего к углу 30°, равна \( 4\sqrt{6} \).
