решить систему уравнений {xy=-8, x²+y²= 65 ,

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( xy = -8 \)
2. \( x^2 + y^2 = 65 \)

начнём с первого уравнения. Из него выражаем \( y \) через \( x \):

\[ y = \frac{-8}{x} \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{-8}{x}\right)^2 = 65 \]

Упростим вторую часть:

\[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 65 \]

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на \( x^2 \) (предполагаем, что \( x \neq 0 \)):

\[ x^4 + 64 = 65x^2 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \]

Теперь сделаем замену: пусть \( z = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ z^2 - 65z + 64 = 0 \]

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{65 \pm \sqrt{(-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969 \]

Теперь найдём корни:

\[ z = \frac{65 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{65 \pm 63}{2} \]

Это приведёт к двум возможным значениям для \( z \):

1. \( z_1 = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64 \)
2. \( z_2 = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернёмся к переменной \( x \):

1. Если \( z_1 = 64 \), то \( x^2 = 64 \) и \( x = 8 \) или \( x = -8 \).

2. Если \( z_2 = 1 \), то \( x^2 = 1 \) и \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

1. Для \( x = 8 \): \[ y = \frac{-8}{8} = -1 \]

2. Для \( x = -8 \): \[ y = \frac{-8}{-8} = 1 \]

3. Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{-8}{1} = -8 \]

4. Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{-8}{-1} = 8 \]

Таким образом, у нас есть четыре решения:

1. \( (8, -1) \)
2. \( (-8, 1) \)
3. \( (1, -8) \)
4. \( (-1, 8) \)

Все пары \( (x, y) \) удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Итак, конечный ответ:
\( (8, -1) \), \( (-8, 1) \), \( (1, -8) \), \( (-1, 8) \).