Решить систему уравнений {xy=-8, x²+y²= 65 ,

Чтобы решить систему уравнений: 1) \( xy = -8 \) 2) \( x^2 + y^2 = 65 \) начнём с первого уравнения. Из него выражаем \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{-8}{x} \] Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{-8}{x}\right)^2 = 65 \] Упростим вторую часть: \[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 65 \] Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на \( x^2 \) (предполагаем, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 + 64 = 65x^2 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \] Теперь сделаем замену: пусть \( z = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \[ z^2 - 65z + 64 = 0 \] Теперь применим формулу корней квадратного уравнения: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{65 \pm \sqrt{(-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969 \] Теперь найдём корни: \[ z = \frac{65 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{65 \pm 63}{2} \] Это приведёт к двум возможным значениям для \( z \): 1) \( z_1 = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64 \) 2) \( z_2 = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Теперь вернёмся к переменной \( x \): 1) Если \( z_1 = 64 \), то \( x^2 = 64 \) и \( x = 8 \) или \( x = -8 \). 2) Если \( z_2 = 1 \), то \( x^2 = 1 \) и \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Теперь найдём соответствующие значения \( y \): 1) Для \( x = 8 \): \[ y = \frac{-8}{8} = -1 \] 2) Для \( x = -8 \): \[ y = \frac{-8}{-8} = 1 \] 3) Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{-8}{1} = -8 \] 4) Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{-8}{-1} = 8 \] Таким образом, у нас есть четыре решения: 1) \( (8, -1) \) 2) \( (-8, 1) \) 3) \( (1, -8) \) 4) \( (-1, 8) \) Все пары \( (x, y) \) удовлетворяют обоим уравнениям системы. Итак, конечный ответ: \( (8, -1) \), \( (-8, 1) \), \( (1, -8) \), \( (-1, 8) \).