(х+7)>х(х+14)

Решим неравенство \( (x + 7) > x(x + 14) \) шаг за шагом.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Сначала раскроим правую часть неравенства:

\[ x(x + 14) = x^2 + 14x \]

Теперь у нас есть:

\[ x + 7 > x^2 + 14x \]

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в левую часть неравенства, чтобы получить 0 на правой. Это будет означать, что:

\[ x + 7 - x^2 - 14x > 0 \]

Упрощаем:

\[ -x^2 - 13x + 7 > 0 \]

Теперь умножим все уравнение на -1, не забывая при этом изменить знак неравенства:

\[ x^2 + 13x - 7 < 0 \]

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения

Для решения неравенства \( x^2 + 13x - 7 = 0 \) воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 13 \), \( c = -7 \).

Вычислим дискриминант:

\[ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 169 + 28 = 197 \]

Теперь находим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-13 \pm \sqrt{197}}}{2} \]

Шаг 4: Приблизительное значение корней

Теперь вычислим приближенные значения корней:

\[ \sqrt{197} \approx 14.04 \Rightarrow x_1 \approx \frac{{-13 - 14.04}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 \approx \frac{{-13 + 14.04}}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ x_1 \approx -13.52 \quad \text{и} \quad x_2 \approx 0.52 \]

Шаг 5: Определение знака параболы

Теперь нам нужно определить, где функция \( x^2 + 13x - 7 < 0 \). Парабола, заданная этой функцией, открыта вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен. Это значит, что она принимает отрицательные значения между корнями:

Промежуток, где неравенство выполняется:

\[ (-13.52, 0.52) \]

Шаг 6: Итоговый ответ

Таким образом, решение неравенства \( (x + 7) > x(x + 14) \) будет:

\[ x \in (-13.52, 0.52) \]

Это значит, что для любых значений \( x \) в этом интервале неравенство выполняется.