Идеальная игральная кость имеет форму восьмигранника. Грани пронумерованы числами от 1 до 8. Кость бросают трижды. Сколько существует различных уникальных результатов? Считайте,…

При броске идеальной восьмигранной кости мы можем получить числа от 1 до 8. Мы бросаем кость трижды, и нам нужно определить количество уникальных результатов, учитывая, что порядок не важен, т.е. результаты (1, 2) и (2, 1) считаются одинаковыми.

Сначала, если бы порядок результатов имел значение, количество возможных вариантов для трех бросков состояло бы из \(8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512\). Однако нам нужно учитывать повторяющиеся варианты.

Для нахождения уникальных результатов мы можем использовать метод "разбиения" на множества. В данном случае мы должны определить, сколько существует различных комбинаций трех бросков, используя числа от 1 до 8.

Каждый уникальный результат может быть представлен в виде мультикомбинаторики. Если обозначить количество раз, сколько выпало каждое число \(x_1, x_2, \ldots, x_8\) (где \(x_i\) – это количество раз, когда число \(i\) выпало в трех бросках), то мы ищем неотрицательные целые числа \(x_1 + x_2 + \ldots + x_8 = 3\).

Это задача на распределение 3 indistinguishable объектов (результаты бросков) по 8 distinguishable ячейкам (числа от 1 до 8). Число способов сделать это можно найти с помощью формулы для неотрицательных целых решений уравнения с использованием биномиальных коэффициентов:

\[ C(n + k - 1, k - 1), \]

где \(n\) — это количество объектов (в нашем случае 3 броска), а \(k\) — это количество ячеек (в нашем случае 8 чисел). Таким образом мы имеем:

\[ C(3 + 8 - 1, 8 - 1) = C(10, 7) = C(10, 3). \]

Теперь посчитаем это значение:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120. \]

Таким образом, количество уникальных результатов, когда идеальная игральная кость с числами от 1 до 8 бросается трижды, составляет 120.