Иван Ефимович наугад написал на доске четырехзначное число какова вероятность того что все цифры в записи этого числа а различны и нечетные

Давайте разберем задачу о нахождении вероятности того, что четырехзначное число, написанное Иваном Ефимовичем, состоит из различных нечетных цифр.

Шаг 1: Определение нечетных цифр

Сначала определим, какие цифры являются нечетными:

• Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9

Таким образом, у нас есть 5 нечетных цифр.

Шаг 2: Четырехзначное число

Четырехзначное число имеет форму \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — цифры этого числа. Цифра \(a\) (первая цифра) не может быть 0, чтобы число оставалось четырехзначным.

Шаг 3: Подсчет способов выбрать различные нечетные цифры

Поскольку мы ищем число, где все цифры различны и нечетные, давайте подсчитаем, сколько таких мероприятий мы можем организовать.

1. Для первой цифры (позиция \(a\)) можем выбрать любую из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9).
2. Для второй цифры (позиция \(b\)) останется только 4 нечетные цифры, так как она должна отличаться от выбранной первой цифры.
3. Для третьей цифры (позиция \(c\)) будут доступны 3 оставшихся нечетные цифры (от тех, что остались).
4. Для четвертой цифры (позиция \(d\)) останется 2 нечетные цифры.

Таким образом, общее число способов выбрать нечетные цифры, где все цифры различны, равно: \[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \]

Шаг 4: Базовое количество четырехзначных чисел

Теперь определим общее количество возможных четырехзначных чисел. Четырехзначные числа могут начинаться с любой из цифр от 1 до 9 (то есть 9 вариантов), а остальные цифры могут быть любыми от 0 до 9 (включая 0). Однако, учитывая, что мы можем повторять цифры:

• Первая цифра (позиция \(a\)): 9 вариантов (1-9)
• Вторая цифра (позиция \(b\)): 10 вариантов (0-9)
• Третья цифра (позиция \(c\)): 10 вариантов (0-9)
• Четвертая цифра (позиция \(d\)): 10 вариантов (0-9)

Итак, общее количество четырехзначных чисел: \[ 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000 \]

Шаг 5: Подсчет вероятности

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное четырехзначное число состоит из различных нечетных цифр: \[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{120}{9000} \]

Шаг 6: Упрощение дроби

Упростим дробь: \[ P = \frac{120 \div 120}{9000 \div 120} = \frac{1}{75} \]

Ответ

Вероятность того, что все цифры в записи случайно выбранного четырехзначного числа различны и нечетны, составляет \(\frac{1}{75}\) или приблизительно 0.0133 (1.33%).