В таблице дано распределение вероятностей случайной величины X=(Xi -3 -2 -1 0 pi 0,2 0,3 0,3 0,2). Найдите стандартное отклонение величины X. Ответ дайте в сотых
Чтобы найти стандартное отклонение случайной величины \(X\), нужно выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Найти математическое ожидание \(E(X)\)
Математическое ожидание случайной величины \(X\) рассчитывается по формуле:
\[ E(X) = \sum (x_i \cdot p_i) \]
где \(x_i\) — значения случайной величины, а \(p_i\) — соответствующие вероятности.
Для данной задачи у нас есть:
- \(X = \{-3, -2, -1, 0\}\)
- \(P(X) = \{0.2, 0.3, 0.3, 0.2\}\)
Вычислим математическое ожидание:
\[ E(X) = (-3) \cdot 0.2 + (-2) \cdot 0.3 + (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2 \]
Теперь подставим значения:
\[ E(X) = -0.6 - 0.6 - 0.3 + 0 = -1.5 \]
Шаг 2: Найти дисперсию \(D(X)\)
Дисперсия случайной величины \(X\) рассчитывается по формуле:
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
Сначала найдем \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot p_i) \]
Вычислим каждое значение:
- \(x_1^2 = (-3)^2 = 9\)
- \(x_2^2 = (-2)^2 = 4\)
- \(x_3^2 = (-1)^2 = 1\)
- \(x_4^2 = 0^2 = 0\)
Теперь подставим в формулу:
\[ E(X^2) = 9 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2 \]
Вычислим значение:
\[ E(X^2) = 1.8 + 1.2 + 0.3 + 0 = 3.3 \]
Теперь можем найти дисперсию:
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.3 - (-1.5)^2 \]
Подставим значение \(E(X)\):
\[ D(X) = 3.3 - 2.25 = 1.05 \]
Шаг 3: Найти стандартное отклонение
Стандартное отклонение \(\sigma\) вычисляется как корень из дисперсии:
\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.05} \]
Посчитаем корень:
\[ \sigma \approx 1.0247 \]
Ответ
Округлим стандартное отклонение до сотых:
\[ \sigma \approx 1.02 \]
Таким образом, стандартное отклонение случайной величины \(X\) равно \(1.02\).
