Чтобы найти стандартное отклонение случайной величины (X), нужно выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Найти математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание случайной величины (X) рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot p_i)
]
где (x_i) — значения случайной величины, а (p_i) — соответствующие вероятности.
Для данной задачи у нас есть:
- (X = {-3, -2, -1, 0})
- (P(X) = {0.2, 0.3, 0.3, 0.2})
Вычислим математическое ожидание:
[
E(X) = (-3) \cdot 0.2 + (-2) \cdot 0.3 + (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2
]
Теперь подставим значения:
[
E(X) = -0.6 - 0.6 - 0.3 + 0 = -1.5
]
Шаг 2: Найти дисперсию (D(X))
Дисперсия случайной величины (X) рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot p_i)
]
Вычислим каждое значение:
- (x_1^2 = (-3)^2 = 9)
- (x_2^2 = (-2)^2 = 4)
- (x_3^2 = (-1)^2 = 1)
- (x_4^2 = 0^2 = 0)
Теперь подставим в формулу:
[
E(X^2) = 9 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.2
]
Вычислим значение:
[
E(X^2) = 1.8 + 1.2 + 0.3 + 0 = 3.3
]
Теперь можем найти дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3.3 - (-1.5)^2
]
Подставим значение (E(X)):
[
D(X) = 3.3 - 2.25 = 1.05
]
Шаг 3: Найти стандартное отклонение
Стандартное отклонение (\sigma) вычисляется как корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1.05}
]
Посчитаем корень:
[
\sigma \approx 1.0247
]
Ответ
Округлим стандартное отклонение до сотых:
[
\sigma \approx 1.02
]
Таким образом, стандартное отклонение случайной величины (X) равно (1.02).
