В контрольной партии три прибора. Вероятность выпуска прибора, не удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,8. Случайная величина X — число приборов, не удовлетворяющих требованиям качества.
Найди закон распределения случайной величины X, используя формулу Бернулли, и заполни таблицу.
X
0
1
2
3
p
Варианты ответов:
0,384
0,096
0,008
0,512
0,731
Для решения задачи о случайной величине \( X \), которая равна числу приборов, не удовлетворяющих требованиям качества из трех приборов, нужно воспользоваться формулой для биномиального распределения.
### Шаг 1: Определение параметров
Пусть:
- \( n = 3 \) (общее количество приборов)
- \( p = 0,8 \) (вероятность, что прибор не удовлетворяет требованиям качества)
- \( q = 1 - p = 0,2 \) (вероятность, что прибор удовлетворяет требованиям качества)
Случайная величина \( X \) подчиняется биномиальному распределению с параметрами \( n \) и \( p \).
### Шаг 2: Формула для расчета вероятностей
Для биномиального распределения вероятность того, что из \( n \) испытаний ровно \( k \) будут "успехами" (в нашем случае – приборами, не удовлетворяющими требованиям качества), вычисляется по формуле:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, рассчитываемый по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
### Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого значения \( X \)
Теперь посчитаем вероятности для \( X = 0, 1, 2, 3 \):
1. **Для \( X = 0 \):**
\[
P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,008 = 0,008
\]
2. **Для \( X = 1 \):**
\[
P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,04 = 3 \cdot 0,032 = 0,096
\]
3. **Для \( X = 2 \):**
\[
P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^1 = 3 \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,128 = 0,384
\]
4. **Для \( X = 3 \):**
\[
P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,512 \cdot 1 = 0,512
\]
### Шаг 4: Заполнение таблицы
Теперь мы можем заполнить таблицу:
| \( X \) | \( P(X) \) |
|---------|--------------|
| 0 | 0,008 |
| 1 | 0,096 |
| 2 | 0,384 |
| 3 | 0,512 |
### Ответы для выбора
Из предоставленных вариантов ответов правильные вероятности соответствуют:
- \( P(X = 0) = 0,008 \)
- \( P(X = 1) = 0,096 \)
- \( P(X = 2) = 0,384 \)
- \( P(X = 3) = 0,512 \)
Таким образом, вероятности для случайной величины \( X \) внутри контрольной партии из трех приборов распределяются следующим образом.
