Вычислите длину дути 90 . окружности с радиусом 8 см, если ее градусная мера равна Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
Для решения этой задачи нам необходимо вычислить длину дуги окружности и площадь кругового сектора. В данном случае нам дана окружность с радиусом \( r = 8 \) см и градусная мера дуги \( \alpha = 90^\circ \).
Шаг 1: Вычисление длины дуги
Длина дуги окружности может быть найдена с помощью следующей формулы:
\[ L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r \]
где:
- \( L \) — длина дуги,
- \( \alpha \) — градусная мера дуги (в данном случае \( 90^\circ \)),
- \( r \) — радиус окружности (в данном случае \( 8 \) см),
- \( \pi \) — математическая константа (примерно \( 3.14 \)).
Подставим известные значения в формулу:
\[ L = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 8 \]
- Упростим \(\frac{90}{360}\):
\[ \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \]
- Подставим это значение:
\[ L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 8 \]
- Упростим:
\[ L = \frac{1}{4} \cdot 16\pi \] \[ L = 4\pi \]
- Приблизительное значение:
Если принять \(\pi \approx 3.14\), то:
\[ L \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \text{ см} \]
Шаг 2: Вычисление площади сектора
Площадь сектора с углом \( \alpha \) и радиусом \( r \) вычисляется по следующей формуле:
\[ S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \]
Подставим известные значения:
\[ S = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot (8)^2 \]
- Упростим \(\frac{90}{360}\):
\[ \frac{90}{360} = \frac{1}{4} \]
- Подставим значение радиуса:
\[ S = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 64 \]
- Упростим:
\[ S = \frac{64\pi}{4} \] \[ S = 16\pi \]
- Приблизительное значение:
Если принять \(\pi \approx 3.14\), то:
\[ S \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 \text{ см}^2 \]
Ответы
- Длина дуги: \( L \approx 12.56 \) см
- Площадь круга сектора: \( S \approx 50.24 \) см²
Таким образом, мы успешно вычислили длину дуги и площадь кругового сектора, используя основные формулы для окружности. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
