Для решения этой задачи нам необходимо вычислить длину дуги окружности и площадь кругового сектора. В данном случае нам дана окружность с радиусом ( r = 8 ) см и градусная мера дуги ( \alpha = 90^\circ ).
Шаг 1: Вычисление длины дуги
Длина дуги окружности может быть найдена с помощью следующей формулы:
[
L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r
]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( \alpha ) — градусная мера дуги (в данном случае ( 90^\circ )),
- ( r ) — радиус окружности (в данном случае ( 8 ) см),
- ( \pi ) — математическая константа (примерно ( 3.14 )).
Подставим известные значения в формулу:
[
L = \frac{90}{360} \cdot 2\pi \cdot 8
]
- Упростим (\frac{90}{360}):
[
\frac{90}{360} = \frac{1}{4}
]
- Подставим это значение:
[
L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 8
]
- Упростим:
[
L = \frac{1}{4} \cdot 16\pi
]
[
L = 4\pi
]
- Приблизительное значение:
Если принять (\pi \approx 3.14), то:
[
L \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \text{ см}
]
Шаг 2: Вычисление площади сектора
Площадь сектора с углом ( \alpha ) и радиусом ( r ) вычисляется по следующей формуле:
[
S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2
]
Подставим известные значения:
[
S = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot (8)^2
]
- Упростим (\frac{90}{360}):
[
\frac{90}{360} = \frac{1}{4}
]
- Подставим значение радиуса:
[
S = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 64
]
- Упростим:
[
S = \frac{64\pi}{4}
]
[
S = 16\pi
]
- Приблизительное значение:
Если принять (\pi \approx 3.14), то:
[
S \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 \text{ см}^2
]
Ответы
- Длина дуги: ( L \approx 12.56 ) см
- Площадь круга сектора: ( S \approx 50.24 ) см²
Таким образом, мы успешно вычислили длину дуги и площадь кругового сектора, используя основные формулы для окружности. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
