1. Дана функция f (х) = 10х - 1. Ответьте на вопросы: При каких значениях аргумента f (x) =0, f (x) < 0, f (x) > 0? Является ли эта функция возрастающей? Если да, то почему? 2.…
1. Дана функция f (х) = 10х - 1. Ответьте на вопросы: При каких значениях аргумента f (x) =0, f (x) < 0, f (x) > 0? Является ли эта функция возрастающей? Если да, то почему? 2. Постройте график функции у = х²+10x + 25. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства (положительные и отрицательные значения функции); г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
Для решения данной задачи мы рассмотрим оба вопроса по отдельности.
1. Рассмотрим функцию \( f(x) = 10x - 1 \).
a) При каких значениях аргумента \( f(x) = 0 \)?
Чтобы найти, при каких значениях \( x \) функция равна нулю, нужно решить уравнение:
\[ 10x - 1 = 0 \]
Добавим 1 к обеим сторонам:
\[ 10x = 1 \]
Теперь разделим обе стороны на 10:
\[ x = \frac{1}{10} \]
Это значит, что функция \( f(x) = 0 \) при \( x = \frac{1}{10} \).
b) При каких значениях аргумента \( f(x) < 0 \)?
Для этого нужно решить неравенство:
\[ 10x - 1 < 0 \]
Сначала решим уравнение \( 10x - 1 = 0 \) (как выше мы нашли, \( x = \frac{1}{10} \)). Теперь смотрим, когда функция меньше нуля:
\[ 10x < 1 \implies x < \frac{1}{10} \]
Итак, функция \( f(x) < 0 \) при \( x < \frac{1}{10} \).
c) При каких значениях аргумента \( f(x) > 0 \)?
Аналогично, решим неравенство:
\[ 10x - 1 > 0 \]
Это приводит к следующему:
\[ 10x > 1 \implies x > \frac{1}{10} \]
Таким образом, функция \( f(x) > 0 \) при \( x > \frac{1}{10} \).
d) Является ли эта функция возрастающей?
Чтобы определить, является ли функция возрастающей, необходимо посмотреть на коэффициент перед \( x \). В данной функции этот коэффициент равен 10, который положителен.
Функция \( f(x) = 10x - 1 \) является линейной с положительным угловым коэффициентом, значит, она возрастает на всей области определения. Это означает, что с увеличением \( x \) значение функции также увеличивается.
2. Построим график функции \( y = x^2 + 10x + 25 \).
a) Область определения и область значения.
Область определения:
Поскольку это полиномиальная функция второго порядка (квадратичная), область определения \( x \) будет все действительные числа, или \( (-\infty; +\infty) \).
Область значения:
Для нахождения области значения найдем вершину параболы, заданной данной функцией. Чтобы сделать это, используем формулу для координат вершины:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
где \( a = 1 \) и \( b = 10 \):
\[ x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5 \]
Теперь найдём значение функции в этой точке:
\[ y_v = (-5)^2 + 10(-5) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0 \]
Таким образом, наименьшее значение функции равно 0, а так как парабола открыта вверх, область значения – это \( y \geq 0 \), или \( [0; +\infty) \).
b) Нули функции.
Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\[ x^2 + 10x + 25 = 0 \]
Это уравнение можно представить в виде полного квадрата:
\[ (x + 5)^2 = 0 \]
Таким образом, нуль функции:
\[ x + 5 = 0 \implies x = -5 \]
c) Промежутки знакопостоянства.
Функция положительна для всех \( x \) кроме точки, где она равна нулю (где \( x = -5 \)).
Итак:
- \( y < 0 \) на промежутке \( (-\infty, -5) \)
- \( y = 0 \) при \( x = -5 \)
- \( y > 0 \) на промежутке \( (-5, +\infty) \)
d) Промежутки возрастания и убывания.
Квадратичная функция возрастает после вершины, которая находится в точке \( x = -5 \):
- Функция убывает на промежутке \( (-\infty, -5) \)
- Функция возрастает на промежутке \( (-5, +\infty) \)
e) Наименьшее и наибольшее значения.
Наименьшее значение функции (минимум) равно 0, которое достигается при \( x = -5 \). Наибольшего значения нет, так как функция возростает до бесконечности.
Таким образом, мы рассмотрели все части задачи, обеспечив необходимые шаги и объяснения. Если есть вопросы или нужно разобрать дополнительные моменты, дайте знать!
