Для решения данной задачи мы рассмотрим оба вопроса по отдельности.
1. Рассмотрим функцию ( f(x) = 10x - 1 ).
a) При каких значениях аргумента ( f(x) = 0 )?
Чтобы найти, при каких значениях ( x ) функция равна нулю, нужно решить уравнение:
[
10x - 1 = 0
]
Добавим 1 к обеим сторонам:
[
10x = 1
]
Теперь разделим обе стороны на 10:
[
x = \frac{1}{10}
]
Это значит, что функция ( f(x) = 0 ) при ( x = \frac{1}{10} ).
b) При каких значениях аргумента ( f(x) < 0 )?
Для этого нужно решить неравенство:
[
10x - 1 < 0
]
Сначала решим уравнение ( 10x - 1 = 0 ) (как выше мы нашли, ( x = \frac{1}{10} )). Теперь смотрим, когда функция меньше нуля:
[
10x < 1 \implies x < \frac{1}{10}
]
Итак, функция ( f(x) < 0 ) при ( x < \frac{1}{10} ).
c) При каких значениях аргумента ( f(x) > 0 )?
Аналогично, решим неравенство:
[
10x - 1 > 0
]
Это приводит к следующему:
[
10x > 1 \implies x > \frac{1}{10}
]
Таким образом, функция ( f(x) > 0 ) при ( x > \frac{1}{10} ).
d) Является ли эта функция возрастающей?
Чтобы определить, является ли функция возрастающей, необходимо посмотреть на коэффициент перед ( x ). В данной функции этот коэффициент равен 10, который положителен.
Функция ( f(x) = 10x - 1 ) является линейной с положительным угловым коэффициентом, значит, она возрастает на всей области определения. Это означает, что с увеличением ( x ) значение функции также увеличивается.
2. Построим график функции ( y = x^2 + 10x + 25 ).
a) Область определения и область значения.
Область определения:
Поскольку это полиномиальная функция второго порядка (квадратичная), область определения ( x ) будет все действительные числа, или ( (-\infty; +\infty) ).
Область значения:
Для нахождения области значения найдем вершину параболы, заданной данной функцией. Чтобы сделать это, используем формулу для координат вершины:
[
x_v = -\frac{b}{2a}
]
где ( a = 1 ) и ( b = 10 ):
[
x_v = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5
]
Теперь найдём значение функции в этой точке:
[
y_v = (-5)^2 + 10(-5) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0
]
Таким образом, наименьшее значение функции равно 0, а так как парабола открыта вверх, область значения – это ( y \geq 0 ), или ( [0; +\infty) ).
b) Нули функции.
Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
[
x^2 + 10x + 25 = 0
]
Это уравнение можно представить в виде полного квадрата:
[
(x + 5)^2 = 0
]
Таким образом, нуль функции:
[
x + 5 = 0 \implies x = -5
]
c) Промежутки знакопостоянства.
Функция положительна для всех ( x ) кроме точки, где она равна нулю (где ( x = -5 )).
Итак:
- ( y < 0 ) на промежутке ( (-\infty, -5) )
- ( y = 0 ) при ( x = -5 )
- ( y > 0 ) на промежутке ( (-5, +\infty) )
d) Промежутки возрастания и убывания.
Квадратичная функция возрастает после вершины, которая находится в точке ( x = -5 ):
- Функция убывает на промежутке ( (-\infty, -5) )
- Функция возрастает на промежутке ( (-5, +\infty) )
e) Наименьшее и наибольшее значения.
Наименьшее значение функции (минимум) равно 0, которое достигается при ( x = -5 ). Наибольшего значения нет, так как функция возростает до бесконечности.
Таким образом, мы рассмотрели все части задачи, обеспечив необходимые шаги и объяснения. Если есть вопросы или нужно разобрать дополнительные моменты, дайте знать!
