в треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Угол ABC равен 110°, угол ALC равен 135°. Найдите угол BAC

Решим задачу по нахождению угла \( \angle BAC \) в треугольнике \( ABC \) с использованием информации о биссектрисе \( AL \).

1. Запишем известные данные:

   • Угол \( \angle ABC = 110° \)
   • Угол \( \angle ALC = 135° \)

2. Используем свойства биссектрисы: Биссектрисе \( AL \) делит угол \( \angle ACB \) на два равных угла: \[ \angle ABL = \angle ALC \] Так как \( B \) и \( C \) – это точки, которые определяют угол \( ACB \), обозначим \( \angle ACB = x \). Следовательно, \[ \angle ABL = \frac{x}{2} \]

3. Считаем угол \( \angle ACB \) через угол \( ALC \): Мы знаем, что сумма внутренних углов треугольника равна \( 180° \): \[ \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180° \] Подставляем известные значения: \[ 110° + \angle BAC + x = 180° \] Отсюда можем выразить \( \angle BAC \): \[ \angle BAC = 180° - 110° - x = 70° - x \]

4. Находим \( \angle ACB \) (или \( x \)): Угол \( \angle ALC \) составляет \( 135° \). Это внешний угол для треугольника \( ABC \). Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных ему: \[ \angle ALC = \angle ABC + \angle ACB \] Подставляем известные углы: \[ 135° = 110° + x \]

5. Решаем уравнение: Выразим \( x \): \[ x = 135° - 110° = 25° \]

6. Находим угол \( BAC \): Подставим \( x \) обратно в выражение для \( \angle BAC \): \[ \angle BAC = 70° - 25° = 45° \]

Таким образом, угол \( \angle BAC \) равен \( 45° \).

Ответ: \( \angle BAC = 45° \)